Chủ đề này có 1 trả lời

[Phuongquynhpr]

Cho tam giác ABC. Tìm GTLN của: M=4cosA+5cosB+5cosC. Mọi người giúp em với!

[mysterious]

Cho tam giác ABC. Tìm GTLN của: M=4cosA+5cosB+5cosC. Mọi người giúp em với!

+/Ta có:

$M = 4\cos A + 5(\cos B + \cos C) = 4\left( {1 - 2\sin ^2 \dfrac{A}{2}} \right) + 10\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} = - 8\sin ^2 \dfrac{A}{2} + 10\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 4$

+/ Đặt $P=M-\dfrac{57}{8}$

+/ Ta lại có:

$P = - 8\sin ^2 \dfrac{A}{2} + 10\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 4 - \dfrac{{57}}{8} = - 8\sin ^2 \dfrac{A}{2} + 10\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} - \dfrac{{25}}{8}$

+/ Xét P là một tam thức bậc 2 của $sin^2\dfrac{A}{2}$ và có

$\left\{ \begin{array}{l} 25\cos ^2 \dfrac{{B - C}}{2} - 25 = 25\left( {\cos ^2 \dfrac{{B - C}}{2} - 1} \right) \le 0 \\ a = - 8 < 0 \\ \end{array} \right$

Do đó $P=M-\dfrac{57}{8}\leq 0$ hay $ M \leq\dfrac{57}{8}$

+/ Dấu bằng xảy ra

$\left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 \dfrac{{B - C}}{2} = 1 \Leftrightarrow B = C \\ \sin \dfrac{A}{2} = - \dfrac{{b'}}{{a}} = \dfrac{5}{8}\cos \dfrac{{B - C}}{2} = \dfrac{5}{8} \\ \end{array} \right$