Chủ đề này có 2 trả lời

[zaizai]

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
$3\left(\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\right)\ge (a^3+b^3+c^3)\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)$

[dcmtltvclh]

đặt $a^{3} ,b^{3} ,c^{3}$ bằng x,y,z,bđt tg đg với$ 2 \sum \dfrac{x}{y} \geq \sum \dfrac{y}{x} +3$

giả sử $y \geq x \geq z$, khi đó bđt tươngg đươg với: :
$\sum \dfrac{x}{y} + \dfrac{(z-y)(z-x)(y-x)}{xyz} \geq 3$
(điều này luôn đúng(theo bđt AM-GM)
em post lời giải bài này lên không biết có đúng không,xin được chỉ giáo

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zaizai: 14-12-2008 - 11:34

[zaizai]

đặt $a^{3} ,b^{3} ,c^{3}$ bằng x,y,z,bđt tg đg với$ 2 \sum \dfrac{x}{y} \geq \sum \dfrac{y}{x} +3$

giả sử $y \geq x \geq z$, khi đó bđt tươngg đươg với: :
$\sum \dfrac{x}{y} + \dfrac{(z-y)(z-x)(y-x)}{xyz} \geq 3$
(điều này luôn đúng(theo bđt AM-GM)
em post lời giải bài này lên không biết có đúng không,xin được chỉ giáo

Lời giải của em đúng như chưa đủ. Chú ý bài này là bài hoán vị nên trường hợp $y \geq x \geq z$ là hiển nhiên và ko cần xét tới (chính là cái em vừa chứng minh ở trên). Cái khó của bài này dành cho trường hợp còn lại $x \geq y \geq z$. Điều đó cho thấy cách giải của em mới chỉ mang lại 1 trường hợp dễ và trường hợp khó vẫn chưa được giải quyết
Và nếu cùng cách giải đó liệu bài trên tương đương với bài sau:
Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
$3\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge (a^2+b^2+c^2)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)$

Đẳng thức của bài này tại điểm tầm thường là $a=b=c$ và điểm đặc biệt là: $(a,b,c)=\left(2\cos{\dfrac{\pi}{9}}+1,\cos{\dfrac{\pi}{9}},1\right)$
Nhưng theo anh thì 2 bài này ko tương đương Thử suy nghĩ tiếp đi nhé