Chủ đề này có 4 trả lời

[Lity124]

Cho ma trận vuông $A$ cấp $n$ có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng $0$,các phần tử còn lại bằng $1$ hoặc $2009$.CMR nếu $n$ chẵn thì $A$ khả đảo.

[tanlsth]

Xem ở đây
http://diendantoanho...showtopic=42021

[1414141]

Ai có ý tưởng cho bài này không ạ

[Nxb]

Mình làm khá dài, bài này search trên mạng chắc có vì nó lúc nào cũng xuất hiện ở mấy kì thi olp sv thì phải nên mình chỉ nói ý cách của mình thôi. Ta có $detA=\sum_{\sigma \in S_n} a_{1\sigma(1)}..a_{n\sigma(n)}$. Do các phần tử trên đường chéo bằng 0 nên $detA=\sum_{\sigma \in S^{'}_{n}} a_{1\sigma(1)}..a_{n\sigma(n)}$, với $S^{'}_{n}=\left \{\sigma \in S_n| \sigma(i) \neq i,i=\overline{1,n}  \right \}$. Đặt $|S^{'}_{n}|=A_n$. Vì mình không đếm được theo cách đơn giản nên mình phải dùng công thức truy hồi, lập luận một lúc thì được $A_n=(n-1)(A_{n-1}+A_{n-2})$. Đến đây bằng quy nạp ta chứng minh được $A_{n}$ chẵn nếu $n$ lẻ và lẻ nếu $n$ chẵn. Từ đó do các phần tử khác đường chéo của ma trận A luôn là số lẻ nên $detA$ sẽ cùng tính chẵn lẻ với $A_n$, tức là detA lẻ với n chẵn, vì vậy detA khác 0 và ta có A khả nghịch. 

[maitram]

$detA\equiv \begin{vmatrix} 0 &1 &\cdots &1 \\ 1 &0 &\cdots &1 \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ 1 &1 &\cdots &0 \end{vmatrix}_{n}(mod2008)$

Đặt $detB=\begin{vmatrix} 0 &1 &\cdots &1 \\ 1 &0 &\cdots &1 \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ 1 &1 &\cdots &0 \end{vmatrix}_{n}$

Tính ra được $detB=(1-n)(-1)^{n-2}$

=> n chẵn thì $detB\neq 0$ => $detA\neq 0$ (sử dụng kiến thức đồng dư)

=> A khả đảo