Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

bất đắng thức thi đại học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 onlyloveyouonly

onlyloveyouonly

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2008 - 23:04

Cho x,y,z>0 thỏa : $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$
CM: $\dfrac{x^{2}+yz}{\sqrt{2x^{2}(y+z)}}+\dfrac{y^{2}+zx}{\sqrt{2y^{2}(z+x)}}+\dfrac{z^{2}+xy}{\sqrt{2z^{2}(x+y)}} \geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 25-06-2012 - 07:03

I will do all thing for a person who I love

#2 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 05-07-2012 - 09:39

Bài 20: Cho $x,y,z$ các các số thực thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$. Chứng minh rằng $$\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+xz}{\sqrt{2y^2(x+z)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\geq 1$$

Không mất tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$. Dễ thấy theo BĐT cauchy-schwarz
$$\sum \frac{xy+xz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}=\sum \frac{\sqrt{2(y+z)}}{2}\geq \sum \frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}=1$$
Nên ta chứng minh $$\sum \frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\geq \sum \frac{xy+xz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\geq 0$$
Dễ chứng minh vì $x\geq y\geq z$ nên $$\sqrt{2x^2(y+z)}\geq \sqrt{2y^2(z+x)}\geq \sqrt{2z^2(x+y)}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\leq \frac{1}{\sqrt{2y^2(z+x)}}\leq \frac{1}{\sqrt{2z^2(x+y)}}$$
Đặt tương ứng là a,b,c $\Rightarrow a\leq b\leq c$
Ta cần chứng minh với $a\leq b\leq c$ và $x\geq y\geq z$ thì

$a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\geq 0$

Đây chính là BĐT VSchur. Theo giả sử, ta có $a(x-y)(x-z)\geq 0$.
$$b(y-x)-c(z-x)\geq b(z-x)-c(z-x)=(b-c)(z-x)\geq 0$$ $$\Rightarrow b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\geq 0$$
Cộng lại, ta thu được VSchur.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh