Chủ đề này có 3 trả lời

[L_Euler]

Tìm giới hạn
$$P =\lim _{n \to +\infty } \int\limits_0^1 {\dfrac{{\sin ^n x}}{x}dx}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-09-2013 - 21:49

[funcalys]

Ta có $\sin^n (x)<x \forall n \in \mathbb{N}, x\in [0,1]$ nên 

$\left | \frac{\sin^n x}{x} \right |\leq 1$ trên $(0,1]$

Áp dụng định lí hội tụ bị chặn ta có:

$\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}\frac{\sin^n x}{x}dx=\int_{0}^{1}\lim_{n\to \infty} \frac{\sin^n x}{x}dx$

Dễ kiểm chứng rằng

$\lim_{n\to \infty} \frac{\sin^n x}{x}=0$ 

nên ta có:

$P=0$

[Primary]

Ta có $\sin^n (x)<x \forall n \in \mathbb{N}, x\in [0,1]$ nên 

$\left | \frac{\sin^n x}{x} \right |\leq 1$ trên $(0,1]$

Áp dụng định lí hội tụ bị chặn ta có:

$\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}\frac{\sin^n x}{x}dx=\int_{0}^{1}\lim_{n\to \infty} \frac{\sin^n x}{x}dx$

Dễ kiểm chứng rằng

$\lim_{n\to \infty} \frac{\sin^n x}{x}=0$ 

nên ta có:

$P=0$

Bạn có thể chứng minh dòng này không ? Theo mình thì hàm đã hội tụ thống nhất và khả tích chưa khi bạn có được dòng đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 22-09-2013 - 09:03

[funcalys]

Bạn có thể chứng minh dòng này không ? Theo mình thì hàm đã hội tụ thống nhất và khả tích chưa khi bạn có được dòng đó

Chứng minh có thể dùng bổ đề Fatou http://en.wikipedia....ergence_theorem

Mình đã chặn dãy hàm đó bằng một hàm khả tích Lebesgue rồi. Một trong những điểm Tp Lebesgue mạnh hơn tp Riemann là thay điều kiện hội tụ đều (uniform) thành điều kiện dễ hơn.