Đến nội dung

Hình ảnh

Một bài nguyên hàm phân khó

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
Đây là bài toán cấp 4 sao **** và cũng là bài toán in trên bìa sách cuốn ''Tuyển tập các chuyên đề & kĩ thuật tính TÍCH PHÂN'' của tác giả TRẦN PHƯƠNG,giới thiệu về kĩ thuật nhảy tầng lầu :D

Theo tác giả về nguyên tắc thì tính được tích phân này với 2 trang giấy nhưng giải nó bởi 5 biến đổi dấu bằng với khoảng 3 dòng thì lại là một đẳng cấp khác...Tuy nhiên tác giả không trình bày cách giải đó.

Liệu đây có phải lời nói xuông chỉ để quảng cáo cho kĩ thuật nhảy tầng lầu ?
Đến giờ mình cũng chưa biết lời giải đó.

Lời giải dưới đây tuy khá công phu+cồng kềnh (mình mất khá nhiều thời gian để post và edit :beer) nhưng nó là lời giải ngắn nhất mà mình biết cho đến thời điểm này :D

Không biết có ai biết cách giải 3 dòng của tác giả TRẦN PHƯƠNG ko?Nếu bạn biết hãy chia sẻ với diễn đàn nhé :D


$\int\dfrac{dx}{x^8+1}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{(x^6+1)-(x^6-1)}{(x^4+1)^2-(2x^2)^2}dx$


$=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{(x^2+1)[(x^4-\sqrt{2}x^2+1)+(\sqrt{2}-1)x^2]}{(x^4+1)^2-(2x^2)^2}dx$

$+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{(x^2-1)[(x^4-\sqrt{2}x^2+1)+(\sqrt{2}+1)x^2]}{(x^4+1)^2-(2x^2)^2}dx$

$=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{x^2+1}{x^4+\sqrt{2}x^2+1}dx+\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\int\dfrac{(x^2+1)x^2}{(x^4-\sqrt{2}x^2+1)(x^4+\sqrt{2}x^2+1)}dx$

$+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{x^2-1}{x^4+\sqrt{2}x^2+1}dx+\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}\int\dfrac{(x^2-1)x^2}{(x^4-\sqrt{2}x^2+1)(x^4+\sqrt{2}x^2+1)}dx$

$=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1+\dfrac{1}{x^2}}{(x-\dfrac{1}{x})^2+2+\sqrt{2}}dx+\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\int\dfrac{1+\dfrac{1}{x^2}}{[(x-\dfrac{1}{x})^2+2-\sqrt{2}][(x-\dfrac{1}{x})^2+2+\sqrt{2}]}dx$

$+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2+\sqrt{2}}dx+\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}\int\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{[(x+\dfrac{1}{x})^2-2-\sqrt{2}][(x-\dfrac{1}{x})^2-2+\sqrt{2}]}dx$

$=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(x-\dfrac{1}{x})}{(x-\dfrac{1}{x})^2+2+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}-1}{4\sqrt{2}}\int\dfrac{d(x-\dfrac{1}{x})}{(x-\dfrac{1}{x})^2+2-\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4\sqrt{2}}\int\dfrac{d(x-\dfrac{1}{x})}{(x-\dfrac{1}{x})^2+2+\sqrt{2}}$

$+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(x+\dfrac{1}{x})}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2+\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}\int\dfrac{d(x+\dfrac{1}{x})}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2-\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}\int\dfrac{d(x+\dfrac{1}{x})}{(x+\dfrac{1}{x})^2-2+\sqrt{2}}$


$=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{8}u+\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{8}v

+\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{16}ln|\dfrac{(x+\dfrac{1}{x})-\sqrt{2-\sqrt{2}}}{(x+\dfrac{1}{x})+\sqrt{2-\sqrt{2}}}|

+\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{16}ln|\dfrac{(x+\dfrac{1}{x})-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{(x+\dfrac{1}{x})+\sqrt{2+\sqrt{2}}}|+C$

Với $x-\dfrac{1}{x}=\sqrt{2+\sqrt{2}} tanu =\sqrt{2-\sqrt{2}} tanv $


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#2
vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
Trước đây nhiều người lao vào tìm lời giải cho bài này nhưng giờ hình như đã cảm thấy ko hứng thú nữa thì phải mà sao ko thấy ai cho ý kiến gì :) .Có lẽ nó cũng lâu rồi ,với lại ko nên tốn quá nhiều thời gian cho những bài thế này :D

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#3
vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
Lời giải của Tú cũng là lời giải mà mình biết cho đến hiện nay.Tư tưởng chính của pp "Nhảy tầng lầu" là tách ra để có thể xét những tích phân khác dễ chịu hơn,giảm khoảng cách giữa bậc tử và bậc mẫu
$\int\dfrac{dx}{x^n+a}=\dfrac{1}{2b}[\int\dfrac{u(x)+b}{x^{n}+a}dx-\int\dfrac{u(x)-b}{x^{n}+a}dx]$
Quy ẩn giang hồ

#4
hoang viet

hoang viet

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
:Rightarrow Mình cũng nghĩ ra một hướng giải $\int \dfrac{dx}{1+x^{ \alpha } } = \int \dfrac{1+ x^{ \alpha } - x^{ \alpha }}{1+ x^{ \al pha }} =x- \int \dfrac{x^{ \alpha }dx}{1+x^{ \alpha } }$
Trong đó đặt $\int \dfrac{x^{ \alpha }dx}{1+x^{ \alpha } }$ =Q
Tính Q bằng tích phân từng phần $Q=xln(1+x^{ \alpha } ) - \int ln(1+x^{ \alpha } ) dx$
:) tới đó là hết đi tiếp được rồi chỉ cần tính $\int ln(1+x^{ \alpha } ) dx$ ra là xong . Ai pro có hứng thú với hướng này thì đi tiếp nhé . Tui bí thiệt rồi :Rightarrow




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh