Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức mới ra lò

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết
a,b,c>0
CMR:
$\dfrac {a^3 + b^3 + c^3 + abc}{4abc}\geq {(\dfrac {a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ca})}^2 + \dfrac {(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2}{8(ab + bc + ca)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 26-04-2009 - 10:04

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#2
mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết

a,b,c>0
CMR:
$\dfrac {a^3 + b^3 + c^3 + abc}{4abc}\geq {(\dfrac {a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ca})}^2 + \dfrac {(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2}{8(ab + bc + ca)}$


Ta có kết quả quen thuộc sau : $\ \dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} \geq \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca} $ .

Đặt $ \ t=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geq 1 $

Bất đẳng thức đề bài đc chứng minh khi bất đẳng thức sau là đúng :

$ \ 3t+2 \geq 4t^2+t \Leftrightarrow (2t+1)(t-1) \leq 0 $ ( đúng ) .

Và ta có đpcm . :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mai quoc thang: 26-04-2009 - 08:41


#3
muctieu-5

muctieu-5

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết
Cách này hay đó, nhưng chỗ này gõ công thức sai nè: $3t \geq 4t^2+t$
Đúng thì sẽ là: $3t \geq 4t^2+t-2$

#4
mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết

Cách này hay đó, nhưng chỗ này gõ công thức sai nè: $3t \geq 4t^2+t$
Đúng thì sẽ là: $3t \geq 4t^2+t-2$

à gõ nhầm :D ..... đã sửa :)

#5
dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
Một bài cùng dạng (trích từ một kết quả của mình trong cuốn Những viên kim cương...):
Với mọi số dương $a,b,c$ thì
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{9(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge12$

Chú ý rằng 9 cũng là hằng số tốt nhất cho bất đẳng thức trên, mặc dù việc giải nó là khá đơn giản.
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#6
tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết
Bài của anh Lâm giải như sau:
$VT-VP=\dfrac{(\sum a^2-\sum bc)(\sum a^3+\sum_{sym}a^2b-9abc)}{abc(a^2+b^2+c^2)}\geq 0$
ĐPCM

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#7
dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
Cậu Tuân cứ thích expand quá nhỉ :D
_______________________________

Dạ vâng ạ.làm nhiều thành thói quen thôi mà anh:D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 27-04-2009 - 13:20

Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#8
Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết

Một bài cùng dạng (trích từ một kết quả của mình trong cuốn Những viên kim cương...):
Với mọi số dương $a,b,c$ thì
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{9(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\ge12$
Chú ý rằng 9 cũng là hằng số tốt nhất cho bất đẳng thức trên, mặc dù việc giải nó là khá đơn giản.

Bài của anh Lâm giải như sau:
$VT-VP=\dfrac{(\sum a^2-\sum bc)(\sum a^3+\sum_{sym}a^2b-9abc)}{abc(a^2+b^2+c^2)}\geq 0$
ĐPCM

chỉ cần chứng minh kái nì: (hình như là cách của anh Lâm thì phải :alpha
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} \ge \dfrac{{9({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{ab + bc + ca}} - 6$
chứng minh bằng cách biến đổi tương đương :alpha

=.=


#9
Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết
Theo yêu cầu của shayne ward thì em đành phải giải hẳn ra vậy: (thực ra chỗ đóa không biến đổi tương đương thì sẽ nhanh hơn :) )
Ta coá:
$\dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} - 3 = \dfrac{{(a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca)}}{{abc}} = \left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right) \ge \dfrac{{9({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca)}}{{ab + bc + ca}} = \dfrac{{9({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{ab + bc + ca}} - 9$
do vậy
$\dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} \ge \dfrac{{9({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{ab + bc + ca}} - 6$
Việc còn lại là nhờ đến "pác" AM-GM là giải được :D

=.=





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh