Về 1 bài hình có nhiều ý tưởng đẹp
#1
Đã gửi 26-04-2009 - 21:06
Mở rộng 1: Tính bán kín đường tròn đó
Mở rộng 2: CMR trên đường thẳng vuông góc hạ từ O xuống đt AC tồn tại 1 điểm P sao cho $(PA,PB)=(PB,PC)=(PC,PA)=60^o $
To be continued.....
#2
Đã gửi 19-05-2009 - 00:11
$r=\dfrac{R_1R_2(R_1+R_2)}{R_1^2+R_2^2+R_1R_2}$
với $r,R_1,R_2$ lần lượt là bán kính đường tròn (O), đường tròn đường kính AB, BC.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manutd: 29-05-2009 - 23:35
#3
Đã gửi 29-05-2009 - 20:58
Mở rộng 3:Cho 1 đường tròn (O) và 1 đường thẳng d ko có điểm chung với (O).Dựng 2 điểm M,N trên d sao cho độ dài MN ko đổi và đường tròn đường kính MN tiếp xúc với (O)
Mở rộng 4:Cho 4 điểm A,B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó và lập thành 1 hàng điểm điều hòa.Dựng các đường tròn đường kính AB,BC,CD,DA.CMR tồn tại 1 đường tròn tiếp xúc với cả 4 đường tròn đó.
Quá đẹp đúng ko
#4
Đã gửi 29-05-2009 - 23:47
Phù.Tiếp tục mở rộng bài toán nhé.Hi vọng mọi người vào thảo luận.Mỗi mình anh Manutd vào thì chán quá
Mở rộng 3:Cho 1 đường tròn (O) và 1 đường thẳng d ko có điểm chung với (O).Dựng 2 điểm M,N trên d sao cho độ dài MN ko đổi và đường tròn đường kính MN tiếp xúc với (O)
nỏ hiểu đẹp ở mô, dựng điểm I trên d sao cho độ dài OI bằng tổng bán kính của (O) và nửa độ dài MN là được mà em.
#5
Đã gửi 29-05-2009 - 23:50
lại dùng nghịch đảo xem sao, xét phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích $AB^2$. Ảnh của các điểm $C,D$, lần lượt là $C^*,D^*$. Qua phép biến hình này thì:Mở rộng 4:Cho 4 điểm A,B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó và lập thành 1 hàng điểm điều hòa.Dựng các đường tròn đường kính AB,BC,CD,DA.CMR tồn tại 1 đường tròn tiếp xúc với cả 4 đường tròn đó.
-đường tròn đường kính $AB$ biến thánh đường thẳng $d_1$ vuông góc với $AB$ tại $B$.
-các đường tròn đường kính $BC,CD$ lần lượt biến thành các đường tròn đường kính $BC^*,C^*D^*$.
-đường tròn đường kính $AD$ biến thánh đường thẳng $d_2$ vuông góc với $AB$ tại $D^*$.
Ta để ý rằng hai đường tròn đường kính $BC^*,C^*D^*$ tiếp xúc ngoài nhau, đường tròn đường kính $BC^*$ tiếp xúc với $d_1$ và đường tròn đường kính $C^*D^*$ tiếp xúc với $d_2$. Vì vậy muốn dựng được ảnh của đường tròn cần dựng qua phép nghịch đảo trên thì hai đường tròn đường kính $BC^*,C^*D^*$ phải bằng nhau, nói cách khác $C^*$ phải là trung điểm của $B$ và $D^*$.
Điều này được chứng minh như sau.
Vì $A,B,C,D$ là hàng điểm điều hòa nên ta có hệ thức $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{CB}{CD}$ hay $AB.CD=AD.CB$. Cộng vào hai vế $AB(AB+BC)$ ta được $AB(AB+BC+CD)=AB^2+AB.BC+AD.CB$ hay $AB.AD=AB^2+AB.BC+AD.CB$. Tiếp tục cộng vào hai vế $AB.AD$ ta được: $2AB.AD = (AB+AD)(AB+BC)$ hay $2AB.AD = (AB+AD)AC$. Nhân vào hai vế $\dfrac{AB}{AC.AD}$ ta có: $2\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{AB^2}{AD}+AB$. Điều này lại tương đương với $2AC^*=AD^*+AB$. Đẳng thức này cho ta $C^*$ phải là trung điểm của $B$ và $D^*$, điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manutd: 30-05-2009 - 01:37
#6
Đã gửi 30-05-2009 - 11:52
Hình như em nhầm đề .Nói chung là bài này Mr Phất giới thiệu là đưa cho học sinh Việt Nam dự thi IMO năm mấy đó ko ai làm đc.Lão ấy định đề nghị cho làm bài đề nghị của VN đi thi IMO nhưng mấy trưởng đoàn VN bảo là sợ khó quá ko ai làm đc .nỏ hiểu đẹp ở mô, dựng điểm I trên d sao cho độ dài OI bằng tổng bán kính của (O) và nửa độ dài MN là được mà em.
Để vài bữa nựa em check cái đề
#7
Đã gửi 31-05-2009 - 05:48
thế thôi khỏi phải đưa lên em, ha haHình như em nhầm đề .Nói chung là bài này Mr Phất giới thiệu là đưa cho học sinh Việt Nam dự thi IMO năm mấy đó ko ai làm đc.Lão ấy định đề nghị cho làm bài đề nghị của VN đi thi IMO nhưng mấy trưởng đoàn VN bảo là sợ khó quá ko ai làm đc .
Để vài bữa nựa em check cái đề
#8
Đã gửi 31-05-2009 - 05:52
#9
Đã gửi 31-05-2009 - 09:26
Còn Mr 3 thì để xem lại đạ
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh