Chủ đề này có 9 trả lời

[dduclam]

Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực không âm $a,b,c$
$\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}\ge\dfrac a{a^2+2bc}+\dfrac b{b^2+2ca}+\dfrac c{c^2+2ab}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c, or, abc=0.$

Bài này mình sáng tác khá lâu rồi và cũng tìm được một lời giải khá đẹp. (Nếu bài toán đã có ở đâu đó thì chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên).

[tuan101293]

Bất đẳng thức tương đương :
$VT-VP=\dfrac{(4(a^4+b^4+c^4)-2\sum_{sym}a^3b-3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3abc(a+b+c))abc}{(ab+bc+ca)(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)}\geq 0$
(đúng theo Schur với k=2 và cauchy)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 27-04-2009 - 11:06

[dduclam]

Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực không âm $a,b,c$
$\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}\ge\dfrac a{a^2+2bc}+\dfrac b{b^2+2ca}+\dfrac c{c^2+2ab}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c, or, abc=0.$

Bài này mình sáng tác khá lâu rồi và cũng tìm được một lời giải khá đẹp. (Nếu bài toán đã có ở đâu đó thì chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên).

My solution:

File gửi kèm

•  Bai_toan_405_dduclam_.pdf   57.38K   595 Số lần tải

[Toanlc_gift]

Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực không âm $a,b,c$
$\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}\ge\dfrac a{a^2+2bc}+\dfrac b{b^2+2ca}+\dfrac c{c^2+2ab}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c, or, abc=0.$

Bài này mình sáng tác khá lâu rồi và cũng tìm được một lời giải khá đẹp. (Nếu bài toán đã có ở đâu đó thì chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên).

$VT-VP=\sum {\dfrac{a}{{{a^2} + 2bc}}(a - b)(a - c)}$
giả sử $a \ge b \ge c$
=>$\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} \ge \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}}$
<=>$ax \ge by$(Q.E.D)
một bài toán đẹp hơn là
$\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + 2bc} }}} \le \dfrac{{a + b + c}}{{\sqrt {ab + bc + ca} }}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 04-05-2009 - 18:19

[dduclam]

Đúng rồi, sử dụng Vornicu-Schur cũng là một cách tiếp cận hay.

một bài toán đẹp hơn là
$\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + 2bc} }}} \le \dfrac{{a + b + c}}{{\sqrt {ab + bc + ca} }}$

Bài này yếu hơn bài của anh mà em.

[dduclam]

Bài toán sau cùng dạng nhưng có vẻ khó hơn rất nhiều, mọi người thử xem nhé.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac a{a^2+3bc}+\dfrac b{b^2+3ca}+\dfrac c{c^2+3ab}\le\dfrac{(a+b+c)^3}{4(ab+bc+ca)^2}$

[mai quoc thang]

Bài toán sau cùng dạng nhưng có vẻ khó hơn rất nhiều, mọi người thử xem nhé.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac a{a^2+3bc}+\dfrac b{b^2+3ca}+\dfrac c{c^2+3ab}\le\dfrac{(a+b+c)^3}{4(ab+bc+ca)^2}$

Xem tớ biểu diễn sức " trâu "

Không mất tính tổng quát giả sử $ c=min\{a;b;c\} $

Đặt $ a=x+c \ ; \ b=y+c $ ( $ x,y \geq 0 $ ) .

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

$ \sum_{i=0}^{7} c^i M_i \geq 0 $

Với :

$ M_7=216(x^2-xy+y^2) $

$ M_6=686(x^3+y^3)-273xy(x+y) $

$ M_5=837(x^4+y^4)+384xy(x^2+y^2)-1185x^2y^2 $

$ M_4 = 481(x^5+y^5)+890xy(x^3+y^3)-884x^2y^2(x+y) $

$ M_3=123(x^6+y^6)+593xy(x^4+y^4)-106x^2y^2(x^2+y^2)-811x^3y^3 $

$ M_2=9(x^7+y^7)+153xy(x^5+y^5)+112x^2y^2(x^3+y^3)-229x^3y^3(x+y) $

$ M_1=9xy(x^6+y^6)+36x^2y^2(x^4+y^4)-18x^3y^3(x^2+y^2)-46x^4y^4 $

$ M_0=3x^3y^3(x^3+y^3-xy(x+y) $

Dễ thấy $ M_i \geq 0 $ với mọi $ x,y \geq 0 $ và $ i=0;1;...,7 $ .

Ta có đpcm .



P/S : tớ " iu " trò này ghê

[vuthanhtu_hd]

P/S : tớ " iu " trò này ghê

Còn mình chẳng thích làm kiểu này tẹo nào( trừ khi bắt buộc )

[Toanlc_gift]

he he,cần thiết em expand ra rồi giải bằng SOS cho xem
hjx,bậc 9 thì cũng hơi vất vả đấy nhỉ

[Bùi Việt Anh]

Bài toán sau cùng dạng nhưng có vẻ khó hơn rất nhiều, mọi người thử xem nhé.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac a{a^2+3bc}+\dfrac b{b^2+3ca}+\dfrac c{c^2+3ab}\le\dfrac{(a+b+c)^3}{4(ab+bc+ca)^2}$

Cách giải dùng phần kiến thức cơ sở trong GLA:
Về phải đã có sẵn công thức.
Vế trái quy đồng, nhóm và dùng những công thức có sẵn.
Sau khi quy về p, R, r ta có thể dùng đánh giá khá thoáng vì bài này ko chặt.