Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

\sum a\sqrt{4a^2+5bc}


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#1 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 27-04-2009 - 13:25

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm $a,b,c$
$a\sqrt{4a^2+5bc}+b\sqrt{4b^2+5ca}+c\sqrt{4c^2+5ab}\ge(a+b+c)^2$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị.
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#2 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 01-05-2009 - 23:54

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm $a,b,c$
$a\sqrt{4a^2+5bc}+b\sqrt{4b^2+5ca}+c\sqrt{4c^2+5ab}\ge(a+b+c)^2$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị.

Nice inequality! This is my solution.

Vì bất đẳng thức đối xứng nên có thể giả sử a>=b>=c. Bởi vì dấu = xảy ra ở 2 chỗ nên mình sẽ xét hai trường hợp :alpha

Trường hợp 1: 4b+4c>=5a. Khi đó ta có ta viết
$a\sqrt{4a^2+5bc}= \dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc }}. (4a^2+5bc) $
Sử dụng bất đẳng thức Trebusep cho 2 dãy tăng
$ \dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc }}\ge \dfrac{b}{\sqrt{4b^2+5ac }} \ge \dfrac{c}{\sqrt{4c^2+5ab }} $ và $ 4a^2+5bc \ge 4b^2+5ac \ge 4c^2+5ab $
sau đó dùng Schwartz ta thu được
$LHS \ge (\dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc }}+\dfrac{b}{\sqrt{4b^2+5ac }}+ \dfrac{c}{\sqrt{4c^2+5ab }}).\dfrac{4a^2+5bc + 4b^2+5ac +4c^2+5ab}{3} $
$ \ge (\dfrac{(a+b+c)^2}{LHS}).(a+b+c)^2= \dfrac{RHS^2}{LHS} $
Vậy ta có LSH >= RHS (bất đẳng thức cần chứng minh). Trong trường hợp này dấu = xảy ra khi a=b=c.

Trường hợp 2: 4b+4c<5a. Ta có:
$a \sqrt{4a^2+5bc}-2a^2+b \sqrt{4b^2+5ac}-2b^2= \dfrac{5abc}{\sqrt{4a^2+5bc }+a} + \dfrac{5abc}{\sqrt{4b^2+5ac }+b} $
$ \ge \dfrac{20abc}{ \sqrt{4a^2+5bc }+a+\sqrt{4b^2+5ac }+b} \ge 3bc $
trong đó ở bước cuối ta dùng đánh giá
$\sqrt{4a^2+5bc }+a+\sqrt{4b^2+5ac }+b \le \sqrt{2(4a^2+5bc+4b^2+5ac)}+2a \le \sqrt{2(4+\dfrac{25}{64}+\dfrac{25}{4})a^2}+2a \le \dfrac{20}{3}a $
bởi vì (nhớ là 4b+4c<5a)
$ 5bc+4b^2+5ac = bc+4b(b+c)+5ac \le bc+5ab+5ac\le \dfrac{(b+c)^2}{4}+5a(b+c) \le \dfrac{25}{64}a^2+\dfrac{25}{4}a^2 $

Mặt khác $ c \sqrt{4c^2+5ab}\ge c(2c+\sqrt{ab}) \ge 2c^2 + bc$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$2a^2+2b^2+3bc+2c^2+bc \ge (a+b+c)^2$
Điều này tương đương với $(a-b-c)^2 \ge 0$ và hiển nhiên đúng. Trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi a=b, c=0.
Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#3 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 02-05-2009 - 00:04

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm $a,b,c$
$a\sqrt{4a^2+5bc}+b\sqrt{4b^2+5ca}+c\sqrt{4c^2+5ab}\ge(a+b+c)^2$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị.

Anh Lâm cũng làm như anh Nam à?Nếu có cách hay thì anh post luôn đi :alpha

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#4 Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FU
  • Sở thích:Math

Đã gửi 04-05-2009 - 17:30

em xin đưa ra một lời giải: (cóa thể là nó hơi xấu :))
$VT = \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{a}{{\sqrt {4{a^2} + 5bc} }}}}} \ge \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {4{a^2} + 5bc} }}} }}$
ta sẽ chứng minh:
${\sum {\dfrac{a}{{\sqrt {4{a^2} + 5bc} }}} } \le 1$
theo cauchyschwarz:
$V{T^2} \le \left( {\sum {a(b + c)} } \right)\left( {\sum {\dfrac{a}{{(4{a^2} + 5bc)(b + c)}}} } \right) = 2\sum {\dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + 5bc}}} + 2abc\sum {\dfrac{1}{{(4{a^2} + 5bc)(b + c)}}}$
cần chứng minh:$2\sum {\dfrac{{{a^2}}}{{4{a^2} + 5bc}}} + 2abc\sum {\dfrac{1}{{(4{a^2} + 5bc)(b + c)}}} \le 1\$
$\Leftrightarrow 2abc\sum {\dfrac{1}{{(4{a^2} + 5bc)(b + c)}}} \le \dfrac{{abc(50\sum {{a^3} + 93abc)} }}{{\prod {(4{a^2} + 5bc)} }}$
$ \Leftrightarrow 50{a^3} + 93abc \ge 2\sum {\dfrac{{20a({b^3} + {c^3}) + 16bc({a^2} + bc) + 9{a^2}bc}}{{b + c}}} $
$\Leftrightarrow 40\sum {a(a - b)(a - c)} + 10\sum {{a^3}} + 93abc \ge 32\sum {\dfrac{{bc({a^2} + bc)}}{{b + c}}} + 18abc\sum {\dfrac{a}{{b + c}}} $
$\Leftrightarrow 40\sum {a(a - b)(a - c) + 10({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc)} \ge 32\sum {\left( {\dfrac{{bc({a^2} + bc)}}{{b + c}} - abc} \right)} + 9abc\left( {2\sum {\dfrac{a}{{b + c}} - 3} } \right)$
đến đây thì có thể đưa được về dạng của Vornicu Schur:
$x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a) +z(c-a)(c-b) \ge 0$
với $x=50a + 10b + 10c - \dfrac{{32bc}}{{b + c}} - \dfrac{{9abc(2a + b + c)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}}$
y,z tương tự
dễ thấy x,y,z đều dương (cái này thì xài AM-GM để chứng minh )
giả sử $a \ge b \ge c$
xét $ax-by=50({a^2} - {b^2}) + 10c(a - b) - \dfrac{{32abc(a - b)}}{{(a + c)(b + c)}} - \dfrac{{9abc(a - b)(2a + 2b + c)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge 50({a^2} - {b^2}) + 10c(a - b) - 32c(a - b) - \dfrac{9}{8}(a - b)(2a + 2b + c)$
$=\dfrac{1}{8}(a - b)(382a + 382b - 185c) \ge 0$
theo định lý vornicu schur,ta cóa đpcm,đẳng thức xảy ra tại tâm và tại biên :D
---------------------------------------------
Phù............
mệt hết cả người..................
p/s:hu hu,anh Lâm ơi,sao lúc em mua sách những viên kim cương của anh thì chỉ giảm có 20%,giờ những nơi khác giảm hẳn 40% liền ::D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 04-05-2009 - 17:51

=.=


#5 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 06-05-2009 - 01:41

Xin lỗi mọi người. Mấy hôm bận quá không onl được. Lời giải của mình sử dụng Cauchy-Schwarz (tương tự như của Toàn):

$(\sum a\sqrt{4a^2+5bc})(\sum \dfrac a{\sqrt{4a^2+5bc}})\ge(a+b+c)^2 $

Rồi sử dụng kết quả của cụ Vasc: $\sum \dfrac a{\sqrt{4a^2+5bc}}\le1$

Lời giải của anh Nam em sẽ check sau.
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#6 toanhocmuonmau

toanhocmuonmau

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:yêu và chỉ yêu 1 người thôi: Hằng ơi, anh yêu em!!!!!!!!!!!!!

Đã gửi 07-05-2009 - 08:49

Trường hợp 2: 4b+4c<5a. Ta có:
$a \sqrt{4a^2+5bc}-2a^2+b \sqrt{4b^2+5ac}-2b^2= \dfrac{5abc}{\sqrt{4a^2+5bc }+a} + \dfrac{5abc}{\sqrt{4b^2+5ac }+b} $
$ \ge \dfrac{20abc}{ \sqrt{4a^2+5bc }+a+\sqrt{4b^2+5ac }+b} \ge 3bc $

Đoạn này của anh không ổn anh ạ.
Phải là
$\sqrt{4a^2+5bc}-2a^2+b \sqrt{4b^2+5ac}-2b^2= \dfrac{5abc}{\sqrt{4a^2+5bc }+2a} + \dfrac{5abc}{\sqrt{4b^2+5ac }+2b} $
Anh xem thử lời giải của em ở đây anh nhé: http://mathvn.org/fo...p?thread_id=971 :geq

The love makes us stronger!

V. Q. B. Can


#7 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 08-05-2009 - 02:45

Uh, cảm ơn em, chỗ đó sai thật. Tuy nhiên cách này vẫn work được, có thể sửa lại như sau (a little more complicated).

Giả sử a>=b>=c. Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: $a\le b+\dfrac{3}{4}c$. Khi đó ta có ta viết
$a\sqrt{4a^2+5bc}= \dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc }}. (4a^2+5bc),b\sqrt{4b^2+5ac}= \dfrac{b}{\sqrt{4b^2+5ac }}. (4b^2+5ac), $

$c\sqrt{4c^2+5ab}= \dfrac{c}{\sqrt{4c^2+5ab }}. (4c^2+5ab)\ge \dfrac{c}{\sqrt{4c^2+5ab }}. (3c^2+bc+ac+4ab) $ (vì $(a-c)(b-c)\ge 0$).
Sử dụng bất đẳng thức Trebusep cho 2 dãy tăng
$ \dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc }}\ge \dfrac{b}{\sqrt{4b^2+5ac }} \ge \dfrac{c}{\sqrt{4c^2+5ab }} $ và $ 4a^2+5bc \ge 4b^2+5ac \ge 3c^2+bc+ca+4ab $
sau đó dùng Schwartz ta thu được
$LHS \ge (\dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc }}+\dfrac{b}{\sqrt{4b^2+5ac }}+ \dfrac{c}{\sqrt{4c^2+5ab }}).\dfrac{(4a^2+5bc) + (4b^2+5ac) +(3c^2+bc+ca+4ab)}{3} $
$ \ge (\dfrac{(a+b+c)^2}{LHS}).(a+b+c)^2^2\ge \dfrac{RHS^2}{LHS} $
Vậy ta có LSH >= RHS (bất đẳng thức cần chứng minh). Trong trường hợp này dấu = xảy ra khi a=b=c.

Trường hợp 2: $a\ge b+\dfrac{3}{4}c$. Ta có:
$a\sqrt{4a^2+5bc}-2a^2+b \sqrt{4b^2+5ac}-2b^2+c \sqrt{4c^2+5ab}-2c^2= \dfrac{5abc}{\sqrt{4a^2+5bc }+2a} + \dfrac{5abc}{\sqrt{4b^2+5ac }+2b}+ \dfrac{5abc}{\sqrt{4c^2+5ab }+2c} $
$ \ge \dfrac{45abc}{ \sqrt{4a^2+5bc }+2a+\sqrt{4b^2+5ac }+2b+\sqrt{4c^2+5ab }+2c} \ge 4bc $
trong đó ở bước cuối ta dùng đánh giá
$\sqrt{4a^2+5bc }+2a+\sqrt{4b^2+5ac }+2b+ \sqrt{4c^2+5ab }+2c \le \sqrt{3(4a^2+5bc+4b^2+5ac+4c^2+5ab)}+2a+2b+2c$
$ =\sqrt{3[ (\dfrac{5}{4}a+2(b+c))^2+(4-(\dfrac{5}{4})^2)a^2-3bc]}+2a+2(b+c) \le \sqrt{3[ (\dfrac{5}{4}a+\dfrac{16}{7}a)^2+(4-(\dfrac{5}{4})^2)a^2]}+2a+\dfrac{16}{7}a =10.98 a \le \dfrac{45}{4}a $
trong đó ta dùng $a\ge b+\dfrac{3}{4}c\ge \dfrac{7}{8}(b+c)$.

Vậy cuối cùng ta chỉ cần chứng minh: $2a^2+2b^2+2c^2+4bc \ge (a+b+c)^2$.
Điều này tương đương với $(a-b-c)^2 \ge 0$ và hiển nhiên đúng. Trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi a=b, c=0.
---------
to toanhocmuonmau: anh đã xem lời giải ở đó. The inequality :geq is a good idea to cancel the square root. Có vẻ nó giống với cách phân tích $m_a, m_b, m_c$ trong các bài của Jack Garfunkel.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hatucdao: 09-05-2009 - 15:18

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#8 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 08-05-2009 - 04:53

Cảm ơn anh Nam. Em đã đọc lời giải của anh. Riêng chỗ này hình như anh có nhầm lần:

$\sqrt{3(4a^2+5bc+4b^2+5ac+4c^2+5ab)}+2a+2b+2c$
$ =\sqrt{3[ (\dfrac{5}{4}a+2(b+c))^2+(4-\dfrac{5}{4})a^2+bc}+2a+2(b+c) $.


Chú ý hệ số của $a, a^2$ và $bc$ ở trong căn. Anh xem lại xem thế nào nhé. :geq

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dduclam: 08-05-2009 - 11:56

Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#9 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 08-05-2009 - 14:58

Cảm ơn anh Nam. Em đã đọc lời giải của anh. Riêng chỗ này hình như anh có nhầm lần:
Chú ý hệ số của $a, a^2$ và $bc$ ở trong căn. Anh xem lại xem thế nào nhé. :geq

Thank em, chỗ đó anh gõ thiếu cái dấu đóng ngoặc. Anh mới sửa lại, và thay đánh giá $bc\le a^2$ bởi $bc\le (\dfrac{b+c}{2})^2\le (\dfrac{4}{7}a)^2$ cho hợp lý hơn.

Anyway, theo cách của Toanlc_gift và dduclam thì BDT ban đầu yếu hơn
$\sum \dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc}} \le 1.$
Is there a short proof for this beautiful inequality.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hatucdao: 08-05-2009 - 15:17

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#10 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 08-05-2009 - 21:40

Em vẫn thấy chỗ này không ổn anh ạ:

trong đó ở bước cuối ta dùng đánh giá
$\sqrt{3(4a^2+5bc+4b^2+5ac+4c^2+5ab)}+2a+2b+2c$
$ =\sqrt{3[ (\dfrac{5}{4}a+2(b+c))^2+(4-\dfrac{5}{4})a^2+bc]}+2a+2(b+c) \le \sqrt{3[ (\dfrac{5}{4}a+\dfrac{16}{7}a)^2+(4-\dfrac{5}{4})a^2+(\dfrac{4}{7}a)^2]}+2a+\dfrac{16}{7}a =11.12 a \le \dfrac{45}{4}a $


Nếu biểu thức bình phương dưới dấu căn là $(\dfrac{5}{4}a+2(b+c))^2$ thì các số hạng còn lại trong căn phải là: $(4-\dfrac{25}{16})a^2-3bc$.
Còn nếu là $\dfrac{5}{4}(a+2(b+c))^2$ thì các số hạng còn lại là: $(4-\dfrac{5}{4})a^2-b^2-c^2-5bc$
có nghĩa ta sẽ không có được các đánh giá tiếp theo.
Anh kiểm tra lại giúp em ạ.
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#11 Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FU
  • Sở thích:Math

Đã gửi 08-05-2009 - 22:49

Xài Holder thế này cóa đc hok nhể:
$V{T^2}\left( {\sum {\dfrac{a}{{4{a^2} + 5bc}}} } \right) \ge {(a + b + c)^3}$
chỉ cần chứng minh:
$\sum {\dfrac{a}{{4{a^2} + 5bc}}} \le \dfrac{1}{{a + b + c}}$
việc còn lại là expand ra và xài Schur :)

=.=


#12 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 09-05-2009 - 00:56

Em vẫn thấy chỗ này không ổn anh ạ:
Nếu biểu thức bình phương dưới dấu căn là $(\dfrac{5}{4}a+2(b+c))^2$ thì các số hạng còn lại trong căn phải là: $(4-\dfrac{25}{16})a^2-3bc$.

Uh, các số hạng còn lại là $(4-(5/4)^2)a^2+bc$. Ở đây mình có 5bc mà $(\dfrac{5}{4}a+2(b+c))^2$ chứa 4bc nên còn 1bc.

Anh viết nhầm $(4-(5/4))a^2+bc$ nên tính ra lớn hơn 1 chút (11.12a). Đã sửa lại là 11.05a :) Sorry for my mistakes!
Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#13 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 09-05-2009 - 01:13

Xài Holder thế này cóa đc hok nhể:
$V{T^2}\left( {\sum {\dfrac{a}{{4{a^2} + 5bc}}} } \right) \ge {(a + b + c)^3}$
chỉ cần chứng minh:
$\sum {\dfrac{a}{{4{a^2} + 5bc}}} \le \dfrac{1}{{a + b + c}}$
việc còn lại là expand ra và xài Schur :D

It is not correct! Cho c=0 thì $LHS=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4a}$ trong khi $RHS=\dfrac{1}{a+b}$. Thậm chí lúc này mình có BDT ngược lại ;)

Các bạn nên tập thói quen viết lời giải 1 cách hoàn chỉnh, cho dù là những bài toán khó sau này hoặc những bài toán vui ở đây, điều này giúp ích cho bản thân và cũng giúp những người khác dễ theo dõi. :)
Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#14 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 09-05-2009 - 13:18

Uh, các số hạng còn lại là $(4-(5/4)^2)a^2+bc$. Ở đây mình có 5bc mà $(\dfrac{5}{4}a+2(b+c))^2$ chứa 4bc nên còn 1bc.

Anh viết nhầm $(4-(5/4))a^2+bc$ nên tính ra lớn hơn 1 chút (11.12a). Đã sửa lại là 11.05a ;) Sorry for my mistakes!


Biểu thức $(\dfrac{5}{4}a+2(b+c))^2$ chứa 8bc chứ anh ?

It is not correct! Cho c=0 thì $LHS=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4a}$ trong khi $RHS=\dfrac{1}{a+b}$. Thậm chí lúc này mình có BDT ngược lại :)

Khi c=0 thì chúng ta có bất đẳng thức ngược lại, nhưng nói chung thì bất đẳng thức ngược lại là không đúng (a=2, b=c=1).
Tuy nhiên (bằng một vài phép thử ban đầu) em nghĩ rằng bất đẳng thức $\sum\dfrac a{4a^2+5bc}\le\dfrac1{a+b+c}$ đúng khi a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác.
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#15 Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Truyện Kim Dung và đội Arsenal

Đã gửi 09-05-2009 - 15:05

Biểu thức $(\dfrac{5}{4}a+2(b+c))^2$ chứa 8bc chứ anh ?

Uh vậy mà mãi ko thấy :) . Cảm ơn em! Anh đã sửa lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hatucdao: 09-05-2009 - 15:12

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#16 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 09-05-2009 - 18:40

Vâng, bây giờ thì perfect rồi anh ạ. Very nice solution :)
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#17 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 13-05-2009 - 03:17

p/s:hu hu,anh Lâm ơi,sao lúc em mua sách những viên kim cương của anh thì chỉ giảm có 20%,giờ những nơi khác giảm hẳn 40% liền :)(


Giờ mới đọc thấy post này của Toàn, cái này ngoài khả năng của anh, lúc sách mới về vì vội mua để gửi cho mọi người anh cũng phải mua ở nhà sách nên họ bảo thế nào anh phải lấy thế ấy thôi. Nơi nào mà giảm 40% vậy em, anh đặt mua ít cuốn ;)
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#18 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-05-2009 - 07:49

Trên bìa sách có ghi là khi in ấn có hợp tác với Nhà sách Minh Thắng, vậy ai muốn mua sách giá rẻ, có thể ra đường Láng, tới hiệu Minh Thắng, bảo cho em gặp anh chủ, tiêu thụ số lượng lớn có khi giảm tận 60% ấy chứ :)

#19 hoàng mai hùng

hoàng mai hùng

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Đã gửi 15-08-2009 - 07:37

Nice inequality! This is my solution.

Vì bất đẳng thức đối xứng nên có thể giả sử a>=b>=c. Bởi vì dấu = xảy ra ở 2 chỗ nên mình sẽ xét hai trường hợp :)

Trường hợp 1: 4b+4c>=5a. Khi đó ta có ta viết
$a\sqrt{4a^2+5bc}= \dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc }}. (4a^2+5bc) $
Sử dụng bất đẳng thức Trebusep cho 2 dãy tăng
$ \dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc }}\ge \dfrac{b}{\sqrt{4b^2+5ac }} \ge \dfrac{c}{\sqrt{4c^2+5ab }} $ và $ 4a^2+5bc \ge 4b^2+5ac \ge 4c^2+5ab $
sau đó dùng Schwartz ta thu được
$LHS \ge (\dfrac{a}{\sqrt{4a^2+5bc }}+\dfrac{b}{\sqrt{4b^2+5ac }}+ \dfrac{c}{\sqrt{4c^2+5ab }}).\dfrac{4a^2+5bc + 4b^2+5ac +4c^2+5ab}{3} $
$ \ge (\dfrac{(a+b+c)^2}{LHS}).(a+b+c)^2= \dfrac{RHS^2}{LHS} $
Vậy ta có LSH >= RHS (bất đẳng thức cần chứng minh). Trong trường hợp này dấu = xảy ra khi a=b=c.

Trường hợp 2: 4b+4c<5a. Ta có:
$a \sqrt{4a^2+5bc}-2a^2+b \sqrt{4b^2+5ac}-2b^2= \dfrac{5abc}{\sqrt{4a^2+5bc }+a} + \dfrac{5abc}{\sqrt{4b^2+5ac }+b} $
$ \ge \dfrac{20abc}{ \sqrt{4a^2+5bc }+a+\sqrt{4b^2+5ac }+b} \ge 3bc $
trong đó ở bước cuối ta dùng đánh giá
$\sqrt{4a^2+5bc }+a+\sqrt{4b^2+5ac }+b \le \sqrt{2(4a^2+5bc+4b^2+5ac)}+2a \le \sqrt{2(4+\dfrac{25}{64}+\dfrac{25}{4})a^2}+2a \le \dfrac{20}{3}a $
bởi vì (nhớ là 4b+4c<5a)
$ 5bc+4b^2+5ac = bc+4b(b+c)+5ac \le bc+5ab+5ac\le \dfrac{(b+c)^2}{4}+5a(b+c) \le \dfrac{25}{64}a^2+\dfrac{25}{4}a^2 $

Mặt khác $ c \sqrt{4c^2+5ab}\ge c(2c+\sqrt{ab}) \ge 2c^2 + bc$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$2a^2+2b^2+3bc+2c^2+bc \ge (a+b+c)^2$
Điều này tương đương với $(a-b-c)^2 \ge 0$ và hiển nhiên đúng. Trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi a=b, c=0.

ở dòng đầu tiên của th2 biến đổi sai mà

#20 mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:......

Đã gửi 15-08-2009 - 15:40

Bất đẳng thức $ \sum \dfrac{a}{\sqrt{4a^2 +5bc}} \ \geq \ 1 $ là 1 kết quả rất đẹp đã được Vasc đưa ra , nhưng em chưa tìm thấy chứng minh đẹp nào của nó , ngay cả trên Mathlinks . Anh Lâm có thể đưa ra cách cm của mình cho nó không ạ ? Em rất tò mò muốn biết .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mai quoc thang: 15-08-2009 - 15:40





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh