Đây là cách làm của anh:Có ai làm giúp em hai bài BĐT trong 2 lần thi thử ở đại học Vinh không?
Câu V ( lần I) Cho các số thực dương $x; \ ; y; \ z$ thỏa mãn $13x+5y+12z=9$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
$A= \dfrac{xy}{2x+y} + \dfrac{3yz}{2y+z} + \dfrac{6zx}{2z+x}$
Giải:
Do $x; \ y; \z$ dương nên theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
$\dfrac{xy}{2x+y} =\dfrac{xy}{x+x+y} \leq \dfrac{xy}{3\sqrt[3]{xyz}} = \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{xyy} \leq \dfrac{1}{9} (x+2y})$.
Tương tự cho các biểu thức còn lại, sau đó ta cộng các BĐT sẽ đc $A \leq 1$
Câu V (lần II) Cho các số không âm $x; \ y; \ z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$x^2y^3 + y^2z^3 + z^2x^3 + (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2$
Giải:
Theo AM-GM ta có:
$x^2y^3 + x +1 \geq 3xy$, tương tự: $y^2z^3 + y +1 \geq 3yz$ và $z^2x^3 + z +1 \geq 3zx$
Khi đó:
$A=(x^2y^3+x+1)+(y^2z^3+y+1)+(z^2x^3+z+1)+(x+y+z)^2-3(x+y+z)-6$
Ta dễ dàng cm đc $x+y+z \geq 3 => (x+y+z)^2 - 3(x+y+z) = (x+y+z)(x+y+z -3) \geq 0$.
Vậy ta có $A \geq 3$