Chủ đề này có 132 trả lời

[C a c t u s]

So sánh kết quả của bạn và đề bài thi mình nghĩ bạn rút gọn chắc là thừa 1 cái $\frac{1}{2}$ ở trên tử dẫn đến kết quả gấp đôi ĐPCM,bạn xem lại quy luật của cái rút gọn nhé.

So sánh kết quả của bạn và đề bài thi mình nghĩ bạn rút gọn chắc là thừa 1 cái $\frac{1}{2}$ ở trên tử dẫn đến kết quả gấp đôi ĐPCM,bạn xem lại quy luật của cái rút gọn nhé.

[font=times new roman']Đã sửa. Bạn xem lại giúp mình với. Đúng là sai một cách ngớ ngẩn [/font]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 17-07-2012 - 22:03

[BoFaKe]

Đang tính thì để mình cho thêm 1 bài cơ bản nữa :
$\sqrt{1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}= 1+2+...+n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 17-07-2012 - 22:16

[BadMan]

Những cái có thể nhớ là những cái đơn giản hoặc tương đối đơn giản.
Những cái cần/nên nhớ là thứ mà từ đó có thể phát triển/gợi ý cho những cái khác (để khỏi nhớ).

Với quan điểm đó thì hằng đẳng thức hay công thức hay ... đáng nhớ phải là những thứ bé bé thôi chứ to thế, dài thế, nhớ sao nổi

[nk0kjutoanhok]

Thêm mấy cái nữa nhé:
$1^3+2^3+3^3+.....n^3=(1+2+3+...+n)^2$
$1.2+2.3+3.4+4.5+....+n(n+1)= \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \dfrac{n( n + 1 )( 2n + 1 )}{6}$
$1.n+2(n-1)+3(n-2)+.....+n.1=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$

ban chung minh cac dang thuc nay duoc khong, minh muon biet tai sao lai nhu vay..

[Tru09]

ban chung minh cac dang thuc nay duoc khong, minh muon biet tai sao lai nhu vay..

Đây , mình giải thích cho :
Ta có :
$(1)=1.2 +2.3+3.4+....+n(n+1) =\frac{1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+.....+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]}{3}$
$=\frac{1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+....+n(n+1)(n+1)-(n-1)n(n+1)}{3} =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$(2)=1^2 +2^2+3^2 +...+n^2 =1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+....+n(n+1-1)=1.2-1+2.3+3.4-3+....+n(n+1)-n=1.2+2.3+...+n(n+1) -(1+2+3+..+n)$
$=(1)-\frac{n(n+1)}{2} =n(n+1)(n+2)-\frac{n(n+1)}{2}=DPCM$
$(3)=1^3 +2^3+....+n^3=1^2.(2-1)+2^2.(3-1)+....+n^2.[(n-1)-1]=1^2.2+2^2.3+....n^2.(n+1)-(1^2+2^2+...+n^2)$
$=1.2(1+0)+2.3.(1+1)+...+n(n+1)[1+(n-1)]-(2) =[1.2+2.3+3.4+4.5+...+n(n+1)]+[1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+(n-1)n(n+1)]-(2)$
$=(1)-(2)+[1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+(n-1)n(n+1)]=(1)-(2)+\frac{1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+....+(n-1)n(n+1)[(n+2)-(n-2)]}{4}$
$=(1)-(2)+\frac{1.2.3.4-0+2.3.4.5-1.2.3.4+....+(n-1)n(n+1)(n+2)-(n-2)(n-1)n(n+1)}{4}$
$=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} -\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{(n-1)(n(n+1)(n+2)}{4}$
$=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)(n(n+1)(n+2)}{4}=(\frac{n(n+1)}{2})^2$
$(4)=1.n+2(n-1)+3(n-2)+.....+n[n-(n-1)]=n(1+2+3+...+n)-(1.2+2.3+...+n(n-1)=\frac{n^2.(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$
$=\frac{n^2.(n+1)}{2} -\frac{n(n-1)(n+1)}{3}=\frac{3n^2.(n+1)-2n(n-1)(n+1)}{6} =\frac{n(n+1)[3n-2(n-1)]}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 30-07-2012 - 16:29

[L Lawliet]

Tks pn nkju^^.......

Chú ý đọc kĩ thông báo đi bạn, Admin đã treo lên cho dễ nhìn mà không đọc à? Bấm thích là đủ rồi không phải cmt cảm ơn, và lưu ý không dùng ngôn ngũ chat chit trong topic thảo luận toán!

[lth080998]

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$


(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$


(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$


(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$


(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$


(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$


(7) $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$


(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$


(9) $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$


(10) $ (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$


(11) $ ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} $


(12)$ ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$


(13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$


(14) Với n lẻ:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$


(15) Nhị thức Newton:
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$


Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (12) xem như là bài tập
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên mình sẽ thêm vào.

Cái HDT số 7 voi số 8 sao thấy mâu thuẫn quá vậy anh

[C a c t u s]

Cái HDT số 7 voi số 8 sao thấy mâu thuẫn quá vậy anh

Mâu thuẫn thế nào nhỉ ?

[L Lawliet]

Lúc nãy ngồi lục lại mấy cuốn sách cũ thì thấy được bài toán sau:
Bài toán: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

a) $\sqrt{1^3+2^3}=1+2$;

b) $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3$;

c) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4$;

d) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}=1+2+3+4+5$.

Bằng một số biến đổi hoặc lười thì ta bấm máy tính thì đều thu được kết quả đúng. Mình đã thử lần lượt đến với số $15$ và đều đúng. Nên mình nghĩ tới $n$ số như sau:
Bài toán: Với mọi số nguyên $n\geq 1$ thì ta có: $\sqrt{\sum_{1}^{n}n^3}=\sum_{1}^{n}n$ (ghi như bình thường là: $\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n$).

Spoiler

Chưa chứng minh nên chưa biết có bị sai đến đoạn nào không và trùng hay sai thì đừng gạch nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-08-2012 - 14:35

[BlackSelena]

Lúc nãy ngồi lục lại mấy cuốn sách cũ thì thấy được bài toán sau:
Bài toán: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

a) $\sqrt{1^3+2^3}=1+2$;

b) $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3$;

c) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4$;

d) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}=1+2+3+4+5$.

Bằng một số biến đổi hoặc lười thì ta bấm máy tính thì đều thu được kết quả đúng. Mình đã thử lần lượt đến với số $15$ và đều đúng. Nên mình nghĩ tới $n$ số như sau:
Bài toán: Với mọi số nguyên $n\geq 1$ thì ta có: $\sqrt{\sum_{1}^{n}n^3}=\sum_{1}^{n}n$ (ghi như bình thường là: $\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n$).

Spoiler

Chưa chứng minh nên chưa biết có bị sai đến đoạn nào không và trùng hay sai thì đừng gạch nhé

Viết lại bài toán cần chứng minh
$1^3+2^3+3^3 + .. n^3 = (1+2+3+... + n)^2$
Với $n=1; n=2$ thì đẳng thức hiển nhiên đúng, hay chính là câu a,b đó
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$
Tức $1^3+2^3 + 3^3 + ... k^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k)^2$
Ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$
Viết lại đẳng thức cần chứng minh $1^3+2^3+3^3+...k^3 + (k+1)^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k + k+1)^2$ (*)
Mặt khác ta có công thức tính tổng sau $1+2+3+4+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$
$\Rightarrow (1+2+3+4+...+n)^2 = \frac{(n^2+n)^2}{4}$
Vậy viết lại đẳng thức cần chứng minh
$\frac{(k^2+k)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k^2+3k+2)^2}{4}$
$\Leftrightarrow (k^2+3k+2)^2 - (k^2+k)^2 = 4(k+1)^3$
Bằng biện pháp "nhân tung tóe", đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng
$\Leftrightarrow 4k^3 +12k^2 + 12k + 4 = 4(k+1)^3$
$\Leftrightarrow 4(k+1)^3 = 4(k+1)^3$ ~ Đẳng thức này đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
P/s: last night, hú hu hù i stuck it

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 12:16

[minhhieukaka]

cùng cm thêm 1 bài về đẳng thức bằng quy nạp nhé( giúp ti)
01+x+$x^{2}+x^{3}+....+x^{n}= \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$
Xem lai mình cái đề với kbiết có đúng không

[zipienie]

Bài toán của bạn chỉ cần áp dụng công thức $1^3+2^3+...+n^3=(\dfrac{n(n+1)}{2})^2$ từ đó suy ra được các kết quả trên
Chứng minh công thức $1^3+2^3+...+n^3=(\dfrac{n(n+1)}{2})^2$ (*) chỉ cần dựa vào công thức $(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$ sau đó thay lần lượt $x=1,2,3,4,...,n$ vào đẳng thức và cộng lại, sau đó ta sẽ tìm được (*).
Cũng có thể chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp.

[Khanh 6c Hoang Liet]

Cho em hỏi : Ai có thể biến $a^2 + b^2$ thành một hằng đẳng thức ?

[thanhluong]

Cho em hỏi : Ai có thể biến $a^2 + b^2$ thành một hằng đẳng thức ?

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$.
Nếu $a$ và $b$ cùng dấu:
$a^2+b^2=a^2+(\sqrt{2ab})^2+b^2-(\sqrt{2ab})^2=(a+b-\sqrt{2ab})(a+b+\sqrt{2ab})$

[dhn199]

8) (a−b)3+(b−c)3+(c−a)3=3(a−b)(b−c)(c−a)


(9) (a+b)(b+c)(c+a)−8abc=a(b−c)2+b(c−a)2+c(a−b)2


(10) (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc


(11) ab2+bc2+ca2−a2b−b2c−c2a= (a−b)3+(b−c)3+(c−a)33


(12)ab3+bc3+ca3−a3b−b3c−c3a=(a+b+c)[(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3]3


(13) an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+...+a2bn−3+abn−2+bn−1)


(14) Với n lẻ:
an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−...+a2bn−3−abn−2+bn−1)


(15) Nhị thức Newton:
(a+b)n=an+n!(n−1)!1!an−1b+n!(n−2)!2!an−2b2+...+n!(n−k)!k!an−kbk+...+n!2!(n−2)!a2bn−2+n)!1!(n−1)!abn−1+bn

[haiphong08]

cho em hỏi với mấy bác ơi
trong cái nhị thứ niuton (!) là cái gì vậy

Đó là kí hiệu giai thừa: n!=n(n-1)(n-2)....3.2.1. Lớp 11 bạn sẽ được học.

[giabaoprobmt]

Nhị thức Niuton kiếm đâu vậy

[Oral1020]

Góp một bài.Mình cũng chưa biết có ai đăng chưa nữa.
Cho $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$

[Zaraki]

Góp một bài.Mình cũng chưa biết có ai đăng chưa nữa.
Cho $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$

Đã có tại http://diendantoanho...ức/#entry379826

[Oral1020]

Đã có tại http://diendantoanho...ức/#entry379826

Ý mình nói là trong topic này mà
------
Mình biết nhưng mình nói là topic này at here

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 23-12-2012 - 20:20