Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 37 Bình chọn

Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 132 trả lời

#41 C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-07-2012 - 22:02

So sánh kết quả của bạn và đề bài thi mình nghĩ bạn rút gọn chắc là thừa 1 cái $\frac{1}{2}$ ở trên tử dẫn đến kết quả gấp đôi ĐPCM,bạn xem lại quy luật của cái rút gọn nhé. :lol:

So sánh kết quả của bạn và đề bài thi mình nghĩ bạn rút gọn chắc là thừa 1 cái $\frac{1}{2}$ ở trên tử dẫn đến kết quả gấp đôi ĐPCM,bạn xem lại quy luật của cái rút gọn nhé. :lol:

[font=times new roman']Đã sửa. Bạn xem lại giúp mình với. Đúng là sai một cách ngớ ngẩn :( [/font]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 17-07-2012 - 22:03

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#42 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 17-07-2012 - 22:16

Đang tính thì để mình cho thêm 1 bài cơ bản nữa :lol: :
$\sqrt{1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}= 1+2+...+n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 17-07-2012 - 22:16

~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#43 BadMan

BadMan

    Người quản trị

  • Founder
  • 1369 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sài Gòn
  • Sở thích:Đánh tá lả

Đã gửi 17-07-2012 - 22:17

Những cái có thể nhớ là những cái đơn giản hoặc tương đối đơn giản.
Những cái cần/nên nhớ là thứ mà từ đó có thể phát triển/gợi ý cho những cái khác (để khỏi nhớ).

Với quan điểm đó thì hằng đẳng thức hay công thức hay ... đáng nhớ phải là những thứ bé bé thôi chứ to thế, dài thế, nhớ sao nổi :)
Cơm, áo, gạo, tiền
Bút, nghiên, sách, vở

#44 nk0kjutoanhok

nk0kjutoanhok

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 29-07-2012 - 22:51

Thêm mấy cái nữa nhé:
$1^3+2^3+3^3+.....n^3=(1+2+3+...+n)^2$
$1.2+2.3+3.4+4.5+....+n(n+1)= \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \dfrac{n( n + 1 )( 2n + 1 )}{6}$
$1.n+2(n-1)+3(n-2)+.....+n.1=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$


ban chung minh cac dang thuc nay duoc khong, minh muon biet tai sao lai nhu vay..


#45 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 30-07-2012 - 16:17

ban chung minh cac dang thuc nay duoc khong, minh muon biet tai sao lai nhu vay..

Đây , mình giải thích cho :
Ta có :
$(1)=1.2 +2.3+3.4+....+n(n+1) =\frac{1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+.....+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]}{3}$
$=\frac{1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+....+n(n+1)(n+1)-(n-1)n(n+1)}{3} =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$(2)=1^2 +2^2+3^2 +...+n^2 =1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+....+n(n+1-1)=1.2-1+2.3+3.4-3+....+n(n+1)-n=1.2+2.3+...+n(n+1) -(1+2+3+..+n)$
$=(1)-\frac{n(n+1)}{2} =n(n+1)(n+2)-\frac{n(n+1)}{2}=DPCM$
$(3)=1^3 +2^3+....+n^3=1^2.(2-1)+2^2.(3-1)+....+n^2.[(n-1)-1]=1^2.2+2^2.3+....n^2.(n+1)-(1^2+2^2+...+n^2)$
$=1.2(1+0)+2.3.(1+1)+...+n(n+1)[1+(n-1)]-(2) =[1.2+2.3+3.4+4.5+...+n(n+1)]+[1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+(n-1)n(n+1)]-(2)$
$=(1)-(2)+[1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+(n-1)n(n+1)]=(1)-(2)+\frac{1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+....+(n-1)n(n+1)[(n+2)-(n-2)]}{4}$
$=(1)-(2)+\frac{1.2.3.4-0+2.3.4.5-1.2.3.4+....+(n-1)n(n+1)(n+2)-(n-2)(n-1)n(n+1)}{4}$
$=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} -\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{(n-1)(n(n+1)(n+2)}{4}$
$=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)(n(n+1)(n+2)}{4}=(\frac{n(n+1)}{2})^2$
$(4)=1.n+2(n-1)+3(n-2)+.....+n[n-(n-1)]=n(1+2+3+...+n)-(1.2+2.3+...+n(n-1)=\frac{n^2.(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$
$=\frac{n^2.(n+1)}{2} -\frac{n(n-1)(n+1)}{3}=\frac{3n^2.(n+1)-2n(n-1)(n+1)}{6} =\frac{n(n+1)[3n-2(n-1)]}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 30-07-2012 - 16:29


#46 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-07-2012 - 19:01

Tks pn nkju^^.......

Chú ý đọc kĩ thông báo đi bạn, Admin đã treo lên cho dễ nhìn mà không đọc à? Bấm thích là đủ rồi không phải cmt cảm ơn, và lưu ý không dùng ngôn ngũ chat chit trong topic thảo luận toán!

Thích ngủ.


#47 lth080998

lth080998

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10 Toan PTNK TPHCM

Đã gửi 12-08-2012 - 11:00

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$


(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$


(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$


(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$


(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$


(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$


(7) $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$


(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$


(9) $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$


(10) $ (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$


(11) $ ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} $


(12)$ ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$


(13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$


(14) Với n lẻ:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$


(15) Nhị thức Newton:
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$


Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (12) xem như là bài tập Hình đã gửi
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên mình sẽ thêm vào.



Cái HDT số 7 voi số 8 sao thấy mâu thuẫn quá vậy anh

#48 C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-08-2012 - 15:44

Cái HDT số 7 voi số 8 sao thấy mâu thuẫn quá vậy anh

Mâu thuẫn thế nào nhỉ ?

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#49 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 15-08-2012 - 14:34

Lúc nãy ngồi lục lại mấy cuốn sách cũ thì thấy được bài toán sau:
Bài toán: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

a) $\sqrt{1^3+2^3}=1+2$;

b) $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3$;

c) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4$;

d) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}=1+2+3+4+5$.

Bằng một số biến đổi hoặc lười thì ta bấm máy tính thì đều thu được kết quả đúng. Mình đã thử lần lượt đến với số $15$ và đều đúng. Nên mình nghĩ tới $n$ số như sau:
Bài toán: Với mọi số nguyên $n\geq 1$ thì ta có: $\sqrt{\sum_{1}^{n}n^3}=\sum_{1}^{n}n$ (ghi như bình thường là: $\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n$).
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-08-2012 - 14:35

Thích ngủ.


#50 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-08-2012 - 23:24

Lúc nãy ngồi lục lại mấy cuốn sách cũ thì thấy được bài toán sau:
Bài toán: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

a) $\sqrt{1^3+2^3}=1+2$;

b) $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3$;

c) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4$;

d) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}=1+2+3+4+5$.

Bằng một số biến đổi hoặc lười thì ta bấm máy tính thì đều thu được kết quả đúng. Mình đã thử lần lượt đến với số $15$ và đều đúng. Nên mình nghĩ tới $n$ số như sau:
Bài toán: Với mọi số nguyên $n\geq 1$ thì ta có: $\sqrt{\sum_{1}^{n}n^3}=\sum_{1}^{n}n$ (ghi như bình thường là: $\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n$).

Spoiler

Viết lại bài toán cần chứng minh
$1^3+2^3+3^3 + .. n^3 = (1+2+3+... + n)^2$
Với $n=1; n=2$ thì đẳng thức hiển nhiên đúng, hay chính là câu a,b đó :P
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$
Tức $1^3+2^3 + 3^3 + ... k^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k)^2$
Ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$
Viết lại đẳng thức cần chứng minh $1^3+2^3+3^3+...k^3 + (k+1)^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k + k+1)^2$ (*)
Mặt khác ta có công thức tính tổng sau $1+2+3+4+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$
$\Rightarrow (1+2+3+4+...+n)^2 = \frac{(n^2+n)^2}{4}$
Vậy viết lại đẳng thức cần chứng minh
$\frac{(k^2+k)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k^2+3k+2)^2}{4}$
$\Leftrightarrow (k^2+3k+2)^2 - (k^2+k)^2 = 4(k+1)^3$
Bằng biện pháp "nhân tung tóe", đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng
$\Leftrightarrow 4k^3 +12k^2 + 12k + 4 = 4(k+1)^3$
$\Leftrightarrow 4(k+1)^3 = 4(k+1)^3$ ~ Đẳng thức này đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
P/s: last night, hú hu hù i stuck it

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 12:16

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#51 minhhieukaka

minhhieukaka

    Binh nhất

  • Pre-Member
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương quê tôi

Đã gửi 25-08-2012 - 20:33

cùng cm thêm 1 bài về đẳng thức bằng quy nạp nhé( giúp ti)
01+x+$x^{2}+x^{3}+....+x^{n}= \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$
Xem lai mình cái đề với kbiết có đúng không
@@@@@
Hãy cố gắng lên Minhhieukaka!!!

#52 zipienie

zipienie

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 532 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bên nhóm mình bán sách, tài liệu online dạng pdf.Bạn tham khảo thêm ở fb https://www.facebook.com/SachTailieuLuanvan/

    Gmail: nam9921[at]gmail.com
    @=[at]

Đã gửi 27-10-2012 - 06:45

Bài toán của bạn chỉ cần áp dụng công thức $1^3+2^3+...+n^3=(\dfrac{n(n+1)}{2})^2$ từ đó suy ra được các kết quả trên
Chứng minh công thức $1^3+2^3+...+n^3=(\dfrac{n(n+1)}{2})^2$ (*) chỉ cần dựa vào công thức $(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$ sau đó thay lần lượt $x=1,2,3,4,...,n$ vào đẳng thức và cộng lại, sau đó ta sẽ tìm được (*).
Cũng có thể chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp.

Luận văn, tài liệu tham khảo toán học : http://diendantoanho...ảo/#entry499457

Sách, Luận Văn, Tài liệu tham khảo https://www.facebook...TailieuLuanvan/

#53 Khanh 6c Hoang Liet

Khanh 6c Hoang Liet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 188 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathfrak{THCS Hoàng Liệt}$

Đã gửi 17-11-2012 - 21:42

Cho em hỏi : Ai có thể biến $a^2 + b^2$ thành một hằng đẳng thức ?
Hình đã gửi

#54 thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tam Kỳ, Quảng Nam
  • Sở thích:Programming

Đã gửi 17-11-2012 - 21:57

Cho em hỏi : Ai có thể biến $a^2 + b^2$ thành một hằng đẳng thức ?

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$.
Nếu $a$ và $b$ cùng dấu:
$a^2+b^2=a^2+(\sqrt{2ab})^2+b^2-(\sqrt{2ab})^2=(a+b-\sqrt{2ab})(a+b+\sqrt{2ab})$

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#55 dhn199

dhn199

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 22-11-2012 - 22:39

8) (ab)3+(bc)3+(ca)3=3(ab)(bc)(ca)


(9) (a+b)(b+c)(c+a)8abc=a(bc)2+b(ca)2+c(ab)2


(10) (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)abc


(11) ab2+bc2+ca2a2bb2cc2a= (ab)3+(bc)3+(ca)33


(12)ab3+bc3+ca3a3bb3cc3a=(a+b+c)[(ab)3+(bc)3+(ca)3]3


(13) anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+...+a2bn3+abn2+bn1)


(14) Với n lẻ:
an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2...+a2bn3abn2+bn1)


(15) Nhị thức Newton:
(a+b)n=an+n!(n1)!1!an1b+n!(n2)!2!an2b2+...+n!(nk)!k!ankbk+...+n!2!(n2)!a2bn2+n)!1!(n1)!abn1+bn

#56 haiphong08

haiphong08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-12-2012 - 07:00

cho em hỏi với mấy bác ơi
trong cái nhị thứ niuton (!) là cái gì vậy

Đó là kí hiệu giai thừa: n!=n(n-1)(n-2)....3.2.1. Lớp 11 bạn sẽ được học.

#57 giabaoprobmt

giabaoprobmt

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-12-2012 - 19:25

Nhị thức Niuton kiếm đâu vậy

#58 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 23-12-2012 - 19:34

Góp một bài.Mình cũng chưa biết có ai đăng chưa nữa.
Cho $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#59 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 23-12-2012 - 19:38

Góp một bài.Mình cũng chưa biết có ai đăng chưa nữa.
Cho $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$

Đã có tại http://diendantoanho...ức/#entry379826
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#60 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 23-12-2012 - 19:43

Đã có tại http://diendantoanho...ức/#entry379826

Ý mình nói là trong topic này mà
------
Mình biết nhưng mình nói là topic này at here :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 23-12-2012 - 20:20

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi





6 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 6 khách, 0 thành viên ẩn danh