Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Sử dụng tính chẵn lẻ trong giải toán số học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#1 Nguyễn Hoàng Nam

Nguyễn Hoàng Nam

    Độc thân...

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Kiếng cận và tất cả những gì liên quan đến kiếng cận ^^!

Đã gửi 16-05-2009 - 20:30

Trong nhiều bài toán về số nguyên tố hoặc số hữu tỉ, đôi khi chỉ cần xét tính chẵn lẻ của giá trị một biểu thức coi như một điều kiện cần, có thể dẫn đến điều kiện để giải bài toán đó.
Dưới đây là một số tính chất và bài toán
Ta gọi các số nguyên chia hết cho 2 là số chẵn, còn số nguyên không chia hết cho 2 là số lẻ
Tính chất:
1.Tổng hoặc hiệu một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ
2.Tổng hoặc hiệu hai số chẵn hoặc hai số lẻ là một số chẵn
3.Tích các số lẻ là một số lẻ
4.Tích các số, trong đó có ít nhất một số chẵn là một số chẵn
5.Trong 2 số nguyên liên tiếp thì có một số lẻ và một số chẵn
Nhìn chung kiến thức lý thuyết đơn giản, nhưng vận dụng nó là cả một vấn đề. Hãy xét một số dạng toán sau
Tính chẵn lẻ trong các bài toán về chia hết
VD1:Cho bảy số nguyên $a_1,a_2,...a_7$, viết các số nguyên đó theo một thứ tự khác được $b_1.b_2,...b_7$. Chứng mình rằng tích số $(a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_7-b_7)$ chia hết cho 2
Giải:
Đặt $c_1=a_1-b_1$ với i=1,2,3,4,5,6,7. Ta có:
$c_1+c_2+...+c_7=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)...+(a_7-b_7)=(a_1+a_2+...+a_7)-(b_1+b_2+...+b_7)=0$
Theo các tính chất 1,2 thì trong các số $c_1,c_2,...c_7$ pahỉ có ít nhất một số chẵn, lại theo tính chất 4 thì tích $c_1,c_2,...,c_7$ phải là một số chẵn =>đpcm :P
VD2: Số $3^n+2003$ trong đó n là số nguyên dương có chia hết cho 184 không?
Giải
Ta thấy 184=8.23 và $3^{2m}-1$ :D $3^2-1=8$
Xét các trường hợp
Nếu n=2m chẵn, thì $3^{2m}+2003=3^{2m}-1+250.8+4$ không chia hết cho 8
Nếu n=2m+1 lẻ thì ta có $3^{2m+1}+2003=3(3^{2m-1})$ không chia hết cho 8
Vậy với mọi số nguyên dương n thì số $3^n+2003$ đều không chia hết cho 184


Đây là một số bài tập luyện tập ở dạng này
Cho bộ số nguyên pytago x,y,z. Chứng minh rằng x.y.z :beat 60
Tính chẵn lẻ với các phương trình nghiệm nguyên
VD3:
Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^2-2y^2=5$
Giải:
Từ phương trình (PT) suy ra $x^2$ lẻ nên $x=2n+1$ lẻ, thay vào PT được $2n^2+2n-y^2=2(*)$=>y chẵn. Đặt y=2m thay vào :in, ta có $n(n+1)-2m^2=1$. Vế trái chẵn mà về phải lẻ =>mâu thuẫn. Vậy,PT đã cho vô nghiệm

BT luyện tập
Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z nào thỏa mãn điều kiện $19^x+5^y+1980z=1975^{4^{30}}=1993$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 29-06-2009 - 17:12

Kho tư liệu bất đẳng thức

My blog

My website
Bán acc Megaupload giá rẻ, giảm giá đặc biệt cho các thành viên của VMF :D
Contact: 01644 036630

#2 Nguyễn Hoàng Nam

Nguyễn Hoàng Nam

    Độc thân...

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Kiếng cận và tất cả những gì liên quan đến kiếng cận ^^!

Đã gửi 17-05-2009 - 09:14

Tính chẵn lẻ trong các bài toán số học khác
VD4:Chứng minh rằng một phương trình bậc hai với các hệ số đều là số nguyên lẻ thì không thể có nghiệm hữu tỉ
Giải:
Giả sử PT $ax^2+bx+c=0$ với a,b,c là các số nguyên lẻ có nghiệm hữu tỉ $x=\dfrac{p}{q}$ với $(p,q)=1$. Thay giá trị của x vào phương trình và biến đổi ta được $ap^2+bpq+cq^2=0(*)$, Từ q là ước của $ap^2$ mà (p,q)=1 suy ra q là số lẻ. Lập luận tương tự thì p cũng là số lẻ, lúc đó về trái của :P là số lẻ (theo tính chất 1,2,3) mà vế phải của :beat là số chẵn, mâu thuẫn. Vậy PT bậc 2 trên không thể có nghiệm hữu tỉ
Ví dụ 5:
Tìm tất cả các số nguyên tố $a,b,c$ thỏa mãn $a^b+b^a=c$(**)
Giải:
Chú ý c>2 và lẻ thì a,b phải khác nhau tính chẵn lẻ. Vì vai trò của a.b như nhau, giả sử a lẻ, b chẵn thì b=2 nên thay vào (**), ta được $a^2+2^a=c$. Nếu a=3 thì có a=3 thỏa mãn điều kiện. Nếu a khác 3 thì $a^2=3n+1$ với n nguyên dương, $2^a=(3-1)^a=3t-1$ vì a lẻ. Từ đó $c=a^2+2a=3n+1+3t-1=3(n+t)$ là hợp số
Vậy bài toán có nghiệm (a,b,c) bằng (3,2,7) và (2,3,7)
Kho tư liệu bất đẳng thức

My blog

My website
Bán acc Megaupload giá rẻ, giảm giá đặc biệt cho các thành viên của VMF :D
Contact: 01644 036630

#3 Nguyễn Hoàng Nam

Nguyễn Hoàng Nam

    Độc thân...

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Kiếng cận và tất cả những gì liên quan đến kiếng cận ^^!

Đã gửi 17-05-2009 - 09:20

Đây là một số bài toán luyện tập
1.Chứng minh rằng $3^n+4$ không thể là số chính phương với n là số nguyên dương bất kì.
2.Tìm các số nguyên dương m,n lớn hơn 1 sao cho $2^m+3^n$ là số chính phương.
3.Tìm các số nguyên dương n sao cho $n^2+2002$ là số chính phương.
Kho tư liệu bất đẳng thức

My blog

My website
Bán acc Megaupload giá rẻ, giảm giá đặc biệt cho các thành viên của VMF :D
Contact: 01644 036630

#4 pth_tdn

pth_tdn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM

Đã gửi 01-06-2009 - 22:58

3. $ n^2 $ chia 4 dư 0 hoặc 1.
Nên $ n^2+2002$ chia 4 dư 2 hoặc 3 (2002 chia 4 dư 2) ->không thể là số chính phương được.

#5 shendy_gvr

shendy_gvr

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:GVR

Đã gửi 19-06-2009 - 22:22

Đây là một số bài toán luyện tập
1.Chứng minh rằng $3^n+4$ không thể là số chính phương với n là số nguyên dương bất kì.
2.Tìm các số nguyên dương m,n lớn hơn 1 sao cho $2^m+3^n$ là số chính phương.
3.Tìm các số nguyên dương n sao cho $n^2+2002$ là số chính phương.


Chém bài 1 :

Xét n chẵn : $ n=2k => 3^n =3^{2k}+4 = 9^k +4 $

Dễ thấy $ 9^k + 4 $ chja 8 dư 5 ( 9 chja 8 dư 1 )

Mà sô' chj'nh phương chja 8 dư 0;1;4 => vô nghiệm

Xét n lẻ : $ n =2k +1 => 3^{2k+1}+4 =9^k.3+4 $

$ 9^k.3 + 4 $ chja 8 dư 7

=> loại ......

Vậy cái nj' vô nghiệm ...........

wE aRe gVr ..............

nAmE : sHenDy
"từ cấm": GirL
aGe: 15
njcK yAhOo: prince_hoinach


rAp jS nUmbEr oNe .............

Hình đã gửi

sHenDy đà tRở lẠi ............ lỢi hẠi gẤp 2 lẦn ............

#6 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 30-03-2011 - 19:45

Có phải phần này anh Nguyễn Hoàng Nam chép trong cuốn Tuyển tập các chuyên đề của tạp chí Toán học và Tuổi trẻ tập 2 phải không?
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#7 Nguyễn Tuấn

Nguyễn Tuấn

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 20-12-2011 - 23:26

Chuyên đề này của thầy Nguyễn Đức Trường. Giáo viên cùng trường với mình !

#8 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 30-04-2012 - 12:32

VD3: x2-2y2= 5
TH1: x $\vdots$ 5 => y $\vdots$ 5
dat x=5k, y=5t (k,t $\in$ Z)
=> 5k2 + 5t2 = 1=> PT vo nghiem nguyen
TH2: x $\vdots \not{5}$=> x=1;4(mod 5), y=1;4 (mod 5)
=> x2 + 2y2 $\vdots \not{5}$
=>PT vo nghiem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 30-04-2012 - 12:39


#9 hamdvk

hamdvk

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:High School for Gifted Student HNUE
  • Sở thích:toán~...~

Đã gửi 03-05-2012 - 21:05

Bài 2 nhé
Đặt 2m + 3n = x2
* Nếu m lẻ hay m = 2k+1
$\Rightarrow 2^{m}\equiv 2^{2k+1}\equiv 2.4^{k}\equiv 2(mod 3)$
$\Rightarrow x^{2}\equiv 2^{m}+3^{n}\equiv 2+0\equiv 2(mod 3)$
( vô lí )
=> loại
----
* Nếu m chẵn hay m = 2k
ta có
$x^{2}= 2^{2k}+3^{n}$
$\Leftrightarrow x^{2}- 2^{2k}=3^{n}$
$\Leftrightarrow (x-2^{k})(x+2^{k})=3^{n}$
$\Rightarrow x+2^{k}=3^{u} và x-2^{k}=3^{v}(u$\geq$v\geq 0)$
$\Rightarrow 2^{2k+1}=3^{u-v}(3^{v}+1)$
hay $\Rightarrow 3^{u-v}=3^{0}\Rightarrow u=v\Rightarrow k=0$
hay x2=5 (vô lí )
vậy suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hamdvk: 03-06-2012 - 19:55

~.......................................................~


$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$

~.............................................................................................~


#10 hamdvk

hamdvk

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:High School for Gifted Student HNUE
  • Sở thích:toán~...~

Đã gửi 03-05-2012 - 21:13

Mọi người thử làm vài bài nhé


Bài 1: Cho $a,b$ là $2$ số nguyên sao cho tồn tại $2$ số nguyên liên tiếp $c,d$ để $a-b=a^2c-b^2d$
Chứng minh rằng $|a-b|$ là một số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng $A=(m+n)^2+3m+n+1$ không là số chính phương với mọi $m,n$ phân biệt.

Bài 3: Cho $n$ nguyên dương, đặt $B=2+2\sqrt{28n^2+1}$ là một số dương ,cm B chính phương
..............................................

MOD: Bạn coi lại đề bài 3, có phải là tìm $n$ để $B$ nguyên không?
sorry!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hamdvk: 03-06-2012 - 20:08

~.......................................................~


$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$

~.............................................................................................~


#11 baonguyen97

baonguyen97

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lê Quí Đôn

Đã gửi 03-06-2012 - 16:52

Mọi người thử làm vài bài nhé


Bài 1: Cho $a,b$ là $2$ số nguyên sao cho tồn tại $2$ số nguyên liên tiếp $c,d$ để $a-b=a^2c-b^2d$
Chứng minh rằng $|a-b|$ là một số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng $A=(m+n)^2+3m+n+1$ không là số chính phương với mọi $m,n$ phân biệt.

Bài 3: Cho $n$ nguyên dương, đặt $B=2+2\sqrt{28n^2+1}$ là một số dương.

..............................................

MOD: Bạn coi lại đề bài 3, có phải là tìm $n$ để $B$ nguyên không?


Đề bài 3 là: B nguyên, chứng minh B chính phương.

#12 oceandt

oceandt

    Binh nhì

  • Banned
  • 12 Bài viết

Đã gửi 11-07-2013 - 11:45

có rất nhiều bài trả lời hay



#13 vanhoach

vanhoach

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 30-12-2013 - 01:20

xin chào !

mình có mấy bài toán nhờ các pro giải rùm !

thanks all!

1.Chứng tỏ rằng mọi số nguyên n thì 6n+5 và 2n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

 

2 .Nếu có số tự nhiên n sao cho k=n^2.thì ta nói k là số chính phương . tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho số ab+ba là số chính phương 

3. Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho số đó chia hết cho 7 dư 3 ; chia cho 17 dư 12 ; chia cho 23 dư 7 .

4. Trên mặt phẳng cho 100 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào cùng đi qua 1 điểm.

        a) tính số tia phân biệt mà các đường thẳng đó cắt nhau tạo ra.

        b) tính số tam giác phân biệt mà các đường thẳng đó cắt nhau tạo ra.

5.  Bạn hoa ngày nào cũng làm ít nhất 1 bài tập toán , nhưng trong 1 tuần bạn làm không quá 12 bài toán .CMR : có 1 số ngày liên tiếp nào đó tổng số bài tập mà bạn Hoa làm đúng bằng 20 bài. 



#14 neversaynever99

neversaynever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách
    Nhạc cổ điển

Đã gửi 31-12-2013 - 03:34

Bài 1:

Giả sử $6n+5$ và $2n+1$ không là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi $n\in \mathbb{Z}$

Như vậy chúng phải có ước chung $d(\in \mathbb{Z})$

Do  $6n+5$ và $2n+1$ là các số lẻ nên d cũng là số lẻ 

Ta có $6n+5\vdots d$   (1)

          $2n+1\vdots d\Rightarrow 6n+3\vdots d$         (2)

Từ (1) & (2) $\Rightarrow 6n+5-(6n+3)\vdots d$

hay $2\vdots d$

Do d lẻ $\Rightarrow d=1$ hay $6n+5$ và $2n+1$ nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow$ đpcm

 



#15 QuynhBiebs2001

QuynhBiebs2001

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Không biết
  • Sở thích:Không có

Đã gửi 24-07-2015 - 19:08

1.Chứng minh rằng $3^n+4$ không thể là số chính phương với n là số nguyên dương bất kì.

 

$3\equiv -1(mod4)$ , nếu n lẻ thì $3^n+4$ chia 4 dư -1 (loại)

Nếu n chẵn: đặt n = 2m. $3^n+4=9^m+4$ chia 8 dư 5 (loại)

$\Rightarrow$ đpcm


Không nói gì nữa


#16 QuynhBiebs2001

QuynhBiebs2001

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Không biết
  • Sở thích:Không có

Đã gửi 24-07-2015 - 23:20

2.Tìm các số nguyên dương m,n lớn hơn 1 sao cho $2^m+3^n$ là số chính phương.

TH1 mình làm như bạn hamdvk

TH2: m = 2a

$2^m+3^n=4^a+3^n=x^2$

Vì $x^2$ lẻ nên $x^2=4k+1$

=> $4^a+3^n=4k+1$

=> $3^n \equiv 1$ (mod 4)

=> n chẵn. Đặt n = 2b

$4^a+3^n=4^a+9^b$ chia 8 dư 5

=> Không có số nguyên dương nào thỏa mãn đề bài


Không nói gì nữa


#17 QuynhBiebs2001

QuynhBiebs2001

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Không biết
  • Sở thích:Không có

Đã gửi 25-07-2015 - 18:12

2 .Nếu có số tự nhiên n sao cho k=n^2.thì ta nói k là số chính phương . tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho số ab+ba là số chính phương 

$ab+ba = 11(a+b) = x^2$

=> $a+b=11^n.k^2$ với n lẻ và k nguyên khác 0

mà $a+b \leqslant 18$ => $n = k = 1$ hay $a+b = 11$

Vậy ab là các số có hai chữ số sao cho $a + b = 11$


Không nói gì nữa


#18 VOHUNGTUAN

VOHUNGTUAN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:a1k45 THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU- NGHỆ AN
  • Sở thích:don't like any thing

Đã gửi 09-09-2015 - 16:33

Đây là một số bài toán luyện tập
1.Chứng minh rằng $3^n+4$ không thể là số chính phương với n là số nguyên dương bất kì.
2.Tìm các số nguyên dương m,n lớn hơn 1 sao cho $2^m+3^n$ là số chính phương.
3.Tìm các số nguyên dương n sao cho $n^2+2002$ là số chính phương.

EM GIẢI BÀI1 : Với n lẻ thì $3^n+4$ :4 dư 3 => ko là scp

                          Với n chẵn thì   $3^n+4$  = 9k +4 : 8 dư 5 => ko là scp

              VẬY CÓ DPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VOHUNGTUAN: 09-09-2015 - 16:34

TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG

 

VIỆC HỌC TOÁN SONG SONG VỚI CUỘC ĐỜI

!

 

(~~)  :ukliam2:  >:)  :ukliam2:  (~~)

:ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2:  :lol:  :mellow:  :D :mellow:   :lol:  :ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2: 

~O)  ~O)  ~O)
 

 


#19 VOHUNGTUAN

VOHUNGTUAN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:a1k45 THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU- NGHỆ AN
  • Sở thích:don't like any thing

Đã gửi 09-09-2015 - 16:40

xin chào !

mình có mấy bài toán nhờ các pro giải rùm !

thanks all!

1.Chứng tỏ rằng mọi số nguyên n thì 6n+5 và 2n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

 

2 .Nếu có số tự nhiên n sao cho k=n^2.thì ta nói k là số chính phương . tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho số ab+ba là số chính phương 

3. Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho số đó chia hết cho 7 dư 3 ; chia cho 17 dư 12 ; chia cho 23 dư 7 .

4. Trên mặt phẳng cho 100 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào cùng đi qua 1 điểm.

        a) tính số tia phân biệt mà các đường thẳng đó cắt nhau tạo ra.

        b) tính số tam giác phân biệt mà các đường thẳng đó cắt nhau tạo ra.

5.  Bạn hoa ngày nào cũng làm ít nhất 1 bài tập toán , nhưng trong 1 tuần bạn làm không quá 12 bài toán .CMR : có 1 số ngày liên tiếp nào đó tổng số bài tập mà bạn Hoa làm đúng bằng 20 bài. 

Bài màu đỏ là bài lớp 5 thì phải : Ta có số cần tìm cộng thêm 39 là BCNN(7;17;23)nên số đó là 7.17.23-39=2968.


TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG

 

VIỆC HỌC TOÁN SONG SONG VỚI CUỘC ĐỜI

!

 

(~~)  :ukliam2:  >:)  :ukliam2:  (~~)

:ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2:  :lol:  :mellow:  :D :mellow:   :lol:  :ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2: 

~O)  ~O)  ~O)
 

 


#20 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-12-2015 - 21:22

Bài 2 nhé
Đặt 2m + 3n = x2
* Nếu m lẻ hay m = 2k+1
$\Rightarrow 2^{m}\equiv 2^{2k+1}\equiv 2.4^{k}\equiv 2(mod 3)$
$\Rightarrow x^{2}\equiv 2^{m}+3^{n}\equiv 2+0\equiv 2(mod 3)$
( vô lí )
=> loại
----
* Nếu m chẵn hay m = 2k
ta có
$x^{2}= 2^{2k}+3^{n}$
$\Leftrightarrow x^{2}- 2^{2k}=3^{n}$
$\Leftrightarrow (x-2^{k})(x+2^{k})=3^{n}$
$\Rightarrow x+2^{k}=3^{u} và x-2^{k}=3^{v}(u$\geq$v\geq 0)$
$\Rightarrow 2^{2k+1}=3^{u-v}(3^{v}+1)$
hay $\Rightarrow 3^{u-v}=3^{0}\Rightarrow u=v\Rightarrow k=0$
hay x2=5 (vô lí )
vậy suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi audreyrobertcollins: 03-12-2015 - 21:48





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh