Giả sử A là số chính phương, có thể biểu diễn A dưới dạng $A=(10a+b)^2$
Ở đây, a và b là các số nguyên không âm và b
9. Vì $A=20a(5a+b)+b^2$ mà số $20a(5a+b)$ có hàng đơn vị là 0 và hàng chục là số chẵn nên tính chẵn lẻ của hai chữ số tận cùng là A trùng với tính chẵn lẻ của hai chữ số là số $b^2$. Điểm lại tất cả các giá trị có thể có được của $b^2$: $00,01,04,09,16,25,36,49,64,81$ ta rút ra một số kết luận sau đây:Tính chất 1: Nếu hàng đơn vị của một số chính phương là 6 thì chữ số hàng chục phải là số lẻ.
Tính chất 2: Nếu hàng đơn vị của môt số chính phương khác 6 thì chữ số hàng chục phải là số chẵn.
Tính chất 3: Không có số chính phương nào có tận cùng là hai số lẻ.
Tính chất 4: Nếu hai chữ số cuối cùng của một số chính phương cùng chẵn thì chữ số hàng đơn vị của số đó chỉ có thể là 0 hoặc 4.
Sử dụng các tính chất trên, ta có thẻ giải một cách dễ dàng hàng loạt các bài toán liên quan tới số chính phương.
BT1: Chứng minh rằng không tồn tại số chính phương lớn hơn 10 mà tất cả các chữ số của nó đều giống nhau.
Giải:
Giả sử $n=\overline {a...a}$ là số chính phương. Theo tính chất 3, a không thể là số lẻ và ta theo tính chất 4 ta rút ra được kết luận a=4. Mặt khác, số 11...1 không phải là số chính phương (tính chất 3) nên số $n=44...4=4.11...1$ cũng không thể là số chính phương được.
BT2: Giả sử $A=19^5$. Hãy điền vào đằng trước số A một chữ số để số nhận được là số chính phương.
Giải:Dễ dàng kiểm tra được tận cùng của số A là hai số lẻ nên theo tính chất 3 không thể tồn tại cách điền sao cho số nhận được là số chính phương.
BT3: Cho năm số chính phương có hàng chục đôi một khác nhau và hàng đơn vị là 6. Chứng minh rằng tổng tất cả các chữ số hàng chục của năm số trên cùng là số chính phương.
Giải: Theo tính chất 1, ta rút ra các chữ số hàng chục của năm số chính phương nói trên phải là 1,3,5,7,9 mà tổng của chúng là 25 là số chính phương => điều cần chứng minh.
BT4: Tìm số chính phương có bốn chữ số dạng $\overline {abbb}$.
Giải: Theo tính chất 3 thì b không thể là số lẻ. Dễ thấy b
0 nên theo tính chất 4 rút ra b=4. Kiểm tra các giá trị của a, ta thấy bài toán có nghiệm duy nhất là 1444.BT5: Hãy tìm một số chính phương có tận cùng bằng bốn chữ số giống nhau khác 0.
Giải: Giải sử tồn tại một số chính phương thỏa mãn điều kiện trên: $A=\overline {a...bcccc}$ với c
0Từ tính chất 3 và tính chất 4 ta rút ngay ra c=4. Khi đó số A có thể viết dưới dạng $A=\overline {a...b}.10^4+4444=4.(\overline {a...b}.2500+1111)=4(4m+3)$
Do số 4m+3 không phải dạng số chính phương nên A không thể là số chính phương. Nói cách khác không tồn tại số chính phương nào có tận cùng là bốn chữ số giống nhau khác 0.
Bài toán 6: Ta viết các số tự nhiên từ 1 đến 100 liên tiếp nhau và thu được số $123456789...9899100$. Hỏi số trên có phải là số chính phương không?
Giải: Số trên không phải là số chính phương vì sau khi bỏ đi hai chữ số cuối cùng ta nhận được số meli không chính phương (theo tính chất 3).
Trên đây là một số ví dụ. Xin mới các bạn giải bài toán vận dụng sau đây:
Hãy tìm dạng tổng quát của các số chính phương có tận cùng là ba chữ số giống nhau khác 0.
Các bài toán về số chính phương được sử dụng nhiều trong các kì thi HSG. Chúc các bạn thành công trong việc giải các bài toán này
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 28-07-2009 - 18:16
