Chủ đề này có 40 trả lời

[Hero Math]

1, Giải Pt nghiệm nguyên: $y^{2}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
2, Giải phương trình với n là số nguyên dương và x nguyên :$ 499(1997^{n}+1)=x^{2}+x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 30-05-2009 - 16:52

[tiger_cat]

1, Giải Pt nghiệm nguyên: $y^{2}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$TH1: x=0$ thì $y=1$

$TH2: x \neq 0$ thì

$(2x^2+x)^2<4y^2<(2x^2+x+2)^2$

$=> 4y^2=2x^2+x+1$

$=> 4(x^4+x^3+x^2+x+1)=(2x^2+x+2)^2$

$=> x^2-2x-3=0$

$..............$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tiger_cat: 30-05-2009 - 17:15

[Hero Math]

Tìm số tự nhiên n>1 và nhỏ nhất sao cho $A=\dfrac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}{n} $là số chính phương

[Hero Math]

Mình làm bài 2 nhé, có sai thì cứ tư vấn,.
Ta có : $499(1997^{n}+1)=x^2+x\leftrightarrow 1996(1997^{n}+1)+1=4x^{2}+4x+1$
$\leftrightarrow 1996.1997^{n}+1997=(2x+1)^2 $ (1)
Lần lượt xét với n<2 thì tự giải tìm x
Với n> 2 thì $(1) \Leftrightarrow 1997(1996.1997^{n-1}+1)=(2x+1)^{2}$
Vì $VT \vdots 1997$ nên $(2x+1)^{2} \vdots 1997^{2} \Rightarrow 1996.1997^{n-1}+ \vdots 1997 $( vô lí )

[chochum80rf]

Tìm số tự nhiên n>1 và nhỏ nhất sao cho $A=\dfrac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}{n} $là số chính phương

dùng $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=n(n+1)(2n+1):6$

[tiger_cat]

dùng $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=n(n+1)(2n+1):6$

Rồi sao nữa ạ ???

[Hero Math]

4,Tìm n tự nhiên sao cho n-1 và $n^{5}+n^{4}+n^{3}+13n^{2}+13n+14 $đều là số chính phương
5, Tìm x,y nguyên dương sao cho $x,y \in [998,1994]$ để xy+x và xy+y đều là số chính phương

[Te.B]

Giả sử tồn tại $ 1994 \geq y>x \geq 998 $ sao cho $ xy+x= {m}^{2}$ và $ xy+y={n}^{2} $. Vì $ y>x $ nên $ xy+x >{x}^{2} $, suy ra:
$ m>x \Rightarrow y-x= {n}^{2}-{m}^{2} \geq {(m+1)}^{2}-{m}^{2} $
$ \Rightarrow y-x>{(x+1)}^{2}-{x}^{2} \Rightarrow y>3x+1 \Rightarrow $ không tồn tại y thuộc đoạn [998,1994] thỏa mãn.
Vậy không tồn tại (x,y) thỏa mãn đề bài.

[Hero Math]

6,giải PT nghiệm tự nhiên :$ 5^{x}=1+2^{y}$

7,Giải Pt nghiệm nguyên với x nguyên ko âm :$3^{x}+171=y^{2}$

8, Giải PT nghiệm nguyên:$ (x^{2}+y^{2})(x+y-3)=2xy$

[Hero Math]

làm giúp bài 7:từ PT suy ra$ y^{2}$ chẵn$ \Rightarrow y^2 \vdots 4\Rightarrow 3^{x}+171\equiv 0 (mod 4)$
$\Rightarrow 3^{x} \equiv 1 (mod 4)$ suy ra x chẵn vì nếu x lẻ thì $3^{x} \equiv -1 (mod 4)$Đặt x=2k ta có: $y^2-(3^{k})^{2}=171$$ \Rightarrow (y-3^{k})(y+3^{k})=171$. Đây là PT ước số ta dễ dàng tìm được y và k.
CÁc bài còn lại mình để các bạn làm nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 02-06-2009 - 09:09

[Hero Math]

4,Tìm n tự nhiên sao cho n-1 và $n^{5}+n^{4}+n^{3}+13n^{2}+13n+14 $đều là số chính phương
5, Tìm x,y nguyên dương sao cho $x,y \in [998,1994]$ để xy+x và xy+y đều là số chính phương

Xét n=1 và n=2 ko thỏa mãn
Vậy$ n \geq3$
vì n-1 và $n^{5}+n^{4}+n^{3}+13n^{2}+13n+14$ đều là số chính phương nên $( n-1)( n^{5}+n^{4}+n^{3}+13n^{2}+13n+14) $cũng phải là số cphươg hay $n^{6}+12n^{3}+n-14 $là số cp
Ta có$ (n^{3}+5)^{2}< n^{6}+12n^{3}+n-14 < (n^{3}+7)^{2}$ ( vì n\geq 3)
nên$ n^{6}+12n^{3}+n-14=(n^{3}+6)^{2}.$
TÌm được n=50 ( đúng)

[anh qua]

tìm x,y nguyên dương sao cho : $2^x+5^y$ là số chính phương

[anh qua]

$ 5^x=1+2^{y}$
$\Rightarrow 2^{y}\vdots 4 \Rightarrow y\geq 2$
$+)y=2\Rightarrow x=1$
$+)y=2k+1\Rightarrow 5^x\equiv 0(mod3)$(vô lí)
$+)y=2k(k\geq 2)\Rightarrow 5^x\equiv 2(mod3)\Rightarrow x=2m+1$
$\Rightarrow (5-1)(5^{2m}+5^{2m-1}+...+5+1)=2^{2k}\Rightarrow m=0\Rightarrow y=2$(loại)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 03-06-2009 - 16:56

[Hero Math]

9, giải PT nghiệm nguyên :$ x^{3}=y^{3}+2y^{2}+1$
10,cho n là số tự nhiên lẻ và $\dfrac{n^{2}-1}{3}$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.Hỏi n có thể là tổng của 2 số chính phương liên tiếp ko?

[Hero Math]

bài 9:

Ta có : $x^{3}=y^{3}+2y^{2}+1>y^{3} \Rightarrow x>y \Rightarrow x\geq y+1$ ( *)
với y>0 hoặc $y<-3 \Rightarrow y(y+3)>0 $$\Rightarrow (y+1)^{3}> y^{3}+2y^{2}+1=x^{3} \Rightarrow y+1>x.$
cái này mâu thuẫn với nên $-3\leq y\leq 0$.Đến đây tìm GTcủa x rồi thử lại .Thì nhiệm là:
$(x,y)=(-2,-3)$,$(1,-2)$,$(1,0) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 04-06-2009 - 13:29

[Hero Math]

giải PT nghiệm nguyên : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$

[apollo_1994]

giải PT nghiệm nguyên : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$

Ông anh này tự sướng à
Bài trên thì cóa thể làm như vầy:
+Nếu $x^2y^2$ lẻ thì $z^2$ lẻ
=> VT chia 4 dư 3,Vp chia 4 dư 1=>vô no
+Nếu $x^2y^2$ chẵn ,giả sử x chẵn thì $y^2+z^2 \vdots 4 \Rightarrow y \vdots 2,z \vdots 2$
Tới đây xuống thang,pt có nghiệm duy nhất $(0;0;0)$

[Hero Math]

cho n là số tự nhiên .Tìm n sao cho :$n^{2}+n+2 \vdots 2005$

[Hero Math]

Giải PT nghiệm nguyên : $x^{2}+17y^{2}+34xy+51(x+y)=1740$

[apollo_1994]

cho n là số tự nhiên .Tìm n sao cho :$n^{2}+n+2 \vdots 2005$

$n^{2}+n+2 \not \vdots 5 \forall n \in N$ nên $\not \exists n$
Còn bài bên trên là đề thi KHTN năm nào đấy ,xét số dư của 1 số CP cho 17 là OK!