7,cho =$1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+...+\dfrac{1}{x}}}$
Giải PT: $a_{100}=x$
Bài này anh dùng quy nạp và sai phân tính ra:
Xét $1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{.... + \dfrac{1}{x}}}}}}} = S$
Giả sử vế trái của biểu thức trên có $n$ dấu phân thức thì:
Với $n=1$ thì $VT=1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}$
Với $n \ge 2$ thì $VT = \dfrac{{u_{n + 1} x + u_n }}{{u_n x + u_{n - 1} }}$ với $u_n$ là số hạng tổng quát của dãy Fibonaci như sau: $u_n = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n - \left( {\dfrac{{1-\sqrt 5 }}{2}} \right)^n } \right]$
Nghĩa là $VT = \dfrac{{u_{n + 1} x + u_n }}{{u_n x + u_{n - 1} }} = \dfrac{{\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{n + 1} - \left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{n + 1} } \right]x + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n - \left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n } \right]}}{{\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^n - \left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^n } \right]x + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{n - 1} - \left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^{n - 1} } \right]}}$
Từ đó chỉ cần nghịch đảo cái phân thức trên thì được vế trái của cái phương trình ban đầu. Từ đó ta quy về phương trình bâc 2 ẩn x để giải