Chủ đề này có 14 trả lời

[VTC_A1]

Em lập topic nay mong được các bro chia sẻ về cách kiểm tra 1 BDT có thuần nhất hay ko?
Thanks

[vuthanhtu_hd]

Em lập topic nay mong được các bro chia sẻ về cách kiểm tra 1 BDT có thuần nhất hay ko?
Thanks

VD TH ba biến (các TH khác tương tự )
Xét$f(a;b;c)$ là hàm ba biến $a,b,c$
Nếu $f(ta;tb;tc)=t^{\alpha}.f(a;b;c)$ với mọi $t\in R$

thì ta gọi $f$ là hàm thuần nhất bậc $\alpha$

BDT dạng $f(a;b;c)\ge 0$ là BDT thuần nhất bậc $\alpha$

Trong phạm vi đa thức thì đa thức thuần nhất chính là tổng của các đơn thức đồng bậc .

Với BDT thuần nhất ta có kĩ thuật chuẩn hóa (một số tài liệu gọi là hệ số bất định) khá thú vị

[Toanlc_gift]

Em lập topic nay mong được các bro chia sẻ về cách kiểm tra 1 BDT có thuần nhất hay ko?
Thanks

kiểm tra thì đơn giản lắm,bạn chỉ cần cho tất cả các biến bằng nhau r�#8220;i kiểm tra bậc của cả hai vế xem có bằng nhau không là được
ví dụ,trong bđt $\dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} \ge 3$khi cho các biến bằng nhau thì bậc của cả hai vế đều là không,do đó bđt là thuần nhất
ví dụ 2:
$\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b^2}{a+c} +\dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$
khi cho a=b=c thì bậc của cả hai vế cùng là 1 nên bđt thuần nhất
ví dụ 3:
$\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + {a^2}} \ge \sqrt 2 (a + b + c)$
khi cho $a=b=c$ thì cả hai vế đều là bậc 1 nên bđt thuần nhất (khi khai căn tức là chia đôi bậc ra ấy mà )
còn như bđt của bạn trong cái topic này bên maths.vn http://www.maths.vn/...ead.php?t=21824
thì không thể gọi là đồng bậc được,vì khi cho 3 biến bằng nhau thì vế trái là bậc 3,vế phải vừa là bậc 2,vừa là bậc 3 => bđt của bạn không thuần nhất
không phải bđt không thuần nhất là luôn luôn sai,ví dụ như bđt này,tuy không thuần nhất nhưng nó vẫn đúng:
${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2(ab + bc + ca)$
hoặc là
$({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2) \ge 9(ab + bc + ca)$
hiểu theo kiểu này thì có lẽ là dễ vào đầu hơn là kiểu dựa vào định nghĩa
p/s: hãy thank nếu thấy hay

[VTC_A1]

Vì mình đọc ở http://diendantoanho...?showtopic=5195 có thấy ở mục 3.2 phương pháp chuẩn hóa có ví dụ 4.Nếu bạn đọc hết sẽ thấy có 1 đoạn là:" Nếu $x^2 + y^2 + z^2 > 0$, do bất đẳng thức đã cho là thuần nhất, ta có thể giả sử $x^2 + y^2 +z^2 = 9$ " nên mình ko hiểu lắm.
Mong các bạn góp ý.
Thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 31-05-2009 - 23:30

[Toanlc_gift]

Vì mình đọc ở http://diendantoanho...?showtopic=5195 có thấy ở mục 3.2 phương pháp chuẩn hóa có ví dụ 4.Nếu bạn đọc hết sẽ thấy có 1 đoạn là:" Nếu $x^2 + y^2 + z^2 > 0$, do bất đẳng thức đã cho là thuần nhất, ta có thể giả sử $x^2 + y^2 +z^2 = 9$ " nên mình ko hiểu lắm.
Mong các bạn góp ý.
Thanks

tôi thấy rồi,có một sự nhầm lẫn ở đây,bạn đã nhìn nhầm đề bài bài toán thi HSGQG 2002 rồi,thực ra đề bài là như vầy:
$6(x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2}) \le 27xyz + 10{({x^2} + {y^2} + {z^2})^{\dfrac{3}{2}}}$
ở kia là ${({x^2} + {y^2} + {z^2})^{\dfrac{3}{2}}}$chứ hok phải là $10({x^2} + {y^2} + {z^2})\dfrac{3}{2}$
bất đẳng thức trên là thuần nhất nên có thể chuẩn hóa cho $x^2 + y^2+z^2 =9$,còn vì sao thì bạn có thể hiểu đơn giản như sau:
nếu $x^2+y^2+z^2>0$
chia cả hai vế cho $\dfrac{(x^2 +y^2 +z^2)^{\dfrac{3}{2}}}{3}$
rồi đặt $x' = \dfrac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }};y' = \dfrac{{3y}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }};z' = \dfrac{{3z}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}$
bđt sẽ vẫn có dạng như cũ là $6(x' + y' + z')({x'^2} + {y'^2} + {z'^2}) \le 27x'y'z' + 10{({x'^2} + {y'^2} + {z'^2})^{\dfrac{3}{2}}}$
nhưng lại có mối liên hệ mới là $x{'^2} + y{'^2} + z{'^2} = 9$
ta coi các biến $x';y';z'$ là các biến $x;y;z$ ban đầu,nghĩa là đã có thêm ĐK mới là $x^2 +y^2+z^2=9$mà không ảnh hưởng gì đến bài toán cả

[VTC_A1]

Bạn có thể giúp mình biết vì sao lại chuyển hóa là x^2+y^2+z^2=9 được ko?
Hoặc như trong bài toán:
(VMO) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: x2+ y2+ z2=9.
CMR: 2(x + y + z) − xyz ≤ 10.
ta có:
f(x, y, z)=2(x + y + z) − xyz.
Chúng ta hi vọng sẽ có f(x,y,z) f(x,t,t) với t=(y^2+z^2)/2

Bạn có thể chỉ cho mình bít cách chuẩn hóa trong các bài BDT thuần nhất.
Thanks

[nguyen_ct]

Bạn có thể giúp mình biết vì sao lại chuyển hóa là x^2+y^2+z^2=9 được ko?
Hoặc như trong bài toán:
(VMO) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: x2+ y2+ z2=9.
CMR: 2(x + y + z) − xyz ≤ 10.
ta có:
f(x, y, z)=2(x + y + z) − xyz.
Chúng ta hi vọng sẽ có f(x,y,z) f(x,t,t) với t=(y^2+z^2)/2

Bạn có thể chỉ cho mình bít cách chuẩn hóa trong các bài BDT thuần nhất.
Thanks

cái chỗ này bạn nhầm rùi
hơn nữa chuẩn hóa thì bạn phải làm sao cho giả thiết sau khi chuẩn hóa dễ dàng hơn

[Toanlc_gift]

Bạn có thể giúp mình biết vì sao lại chuyển hóa là x^2+y^2+z^2=9 được ko?
Hoặc như trong bài toán:
(VMO) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: x2+ y2+ z2=9.
CMR: 2(x + y + z) − xyz ≤ 10.
ta có:
f(x, y, z)=2(x + y + z) − xyz.
Chúng ta hi vọng sẽ có f(x,y,z) f(x,t,t) với t=(y^2+z^2)/2

Bạn có thể chỉ cho mình bít cách chuẩn hóa trong các bài BDT thuần nhất.
Thanks

đơn giản thôi,nếu bạn thấy đại lượng nào xuất hiện nhiều nhất thì chuẩn hóa đại lượng đoá,
chuẩn hóa $x^2 +y^2 +z^2 =9$ để cho số nó khỏi lẻ ấy mà,bạn cũng có thể chuẩn hóa $x^2+y^2+z^2$ bằng bất cứ giá trị nào cũng được,miễn sao nó không cồng kềnh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 01-06-2009 - 11:08

[VTC_A1]

Bạn nào có tài liệu về BDT đồng nhất và cách chuẩn hóa thì share mình với.
Theo mình được biết thì pp biếnlaf pp khá mạnh, giải quyết được khá nhiều BDT toán học.
Hình như còn có cách chuyển hóa từ các BDT ko thuần nhất thành các bdt thuần nhất.
Thân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VTC_A1: 01-06-2009 - 11:12

[Toanlc_gift]

Bạn nào có tài liệu về BDT đồng nhất và cách chuẩn hóa thì share mình với.
Theo mình được biết thì pp này khá mạnh, giải quyết được khá nhiều BDT toán học.
Hình như còn có cách chuyển hóa từ các BDT ko thuần nhất thành các bdt thuần nhất.
Thân.

tài liệu thì trên mạng hầu như không có đâu bạn ạ,chủ yếu là phải "tự ngẫm" thôi,mình cũng phải tự ngẫm mãi mới hiểu đấy chứ
còn cách chuyển từ bất đẳng thức không thuần nhất về dạng thuần nhất thì rất đơn giản,đó là đưa chúng về đồng bậc,còn đưa thế nào thì còn phụ thuộc vào bài toán

[VTC_A1]

Cho mình hỏi tí
Khi BDT là đồng nhất(3 biến) thì có thể đặt bất kỳ
a+b+c=k hoặc abc=k hoặc ab+bc+ca=k hoặc a/b+b/c+c/a=k,...........(với k là 1 số tùy ý)
đều được pải ko?

[Toanlc_gift]

Cho mình hỏi tí
Khi BDT là đồng nhất(3 biến) thì có thể đặt bất kỳ
a+b+c=k hoặc abc=k hoặc ab+bc+ca=k hoặc a/b+b/c+c/a=k,...........(với k là 1 số tùy ý)
đều được pải ko?

3 cái đầu tiên đều được còn cái cuối thì không bạn ạ

[VTC_A1]

Bạn giải thích dum` mình sao cái thứ 4 ko được với và còn có những cách đặt nào khác ngoài cách
Ví dụ : x^n+y^n+z^n=k (với n nguyên dương,k bất kỳ ) hoặc..........
Thân

[Toanlc_gift]

Bạn giải thích dum` mình sao cái thứ 4 ko được với và còn có những cách đặt nào khác ngoài cách
Ví dụ : x^n+y^n+z^n=k (với n nguyên dương,k bất kỳ ) hoặc..........
Thân

tức là như vầy: chỉ đc đặt điều kiện cho những biểu thức đối xứng thôi,những biểu thức mà có thể quy về 3 đại lượng $abc;ab+bc+ca;a+b+c$
hoàn toàn có thể chuẩn hóa các đại lượng $a^n +b^n +c^n=k$

[123455]

này VTC A1 bạn có thể tìm cuốn sáng tạo BĐT của anh PHẠM KIM HÙNG ấy. trong đấy anh Hùng viết khá rõ về pp này.