Bài 1: (2 đểm)
Cho hệ phương trình:$\left\{ \begin{matrix}\sqrt {x + 19} - \sqrt {y + 6} = (m - 2008)y + 1 \\ \sqrt {y + 19} - \sqrt {x + 6} = (m - 2008)x + 1 \\ \end{matrix} \right.$
1)Giải hệ phương trình khi m=2008.
2)Chứng minh hệ phương trình đã cho có không quá một nghiệm khi $m \geq 2008$.
Bài 2:(2 điểm)
Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt $a_n=3n^2 +6n +13 $.
1)CM: Nếu hai số $a_i, a_k$ không chia hết cho 5 và chia cho 5 có số dư khác nhau thì $a_i+a_k$ chia hết cho 5.
2)Tím số tự nhiên n lẻ để $a_n$ là số chính phương.
Bài 3:(2 điểm)
Cho a là số thay đổi thỏa mãn $ -1 \leq a \leq 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của b sao cho bất đẳng thức sao luôn đúng:
$2\sqrt {1 - a^4 } + (b - 1)\left( {\sqrt {1 + a^2 } - \sqrt {1 - a^2 } } \right) + b - 4 \le 0$
Bài 4:(3 điểm)
Cho tám giác ABC vuông tại A. Vẽ hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt có đường kính AB và AC, gọi H là giao điểm thứ 2 của $(O_1)$ và $(O_2)$. Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn $(O_1); (O_2)$ lần lượt tại D, E sao cho A nằm giữa D và E.
1) Chứng minh đường trung trực của đoạn DE luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng d tháy đổi.
2) Xác định vị trí đường thẳng d để diện tích tức giác BDEC đặt giá trị lớn nhất, tính GTLN đó theo b và c, với b=AC, c=AB.
3) Đường thẳng đi qua trung điểm đoạn DE vuông góc với BC cắt BC tại K. Chứng minh $KB^2=BD^2+KH^2$.
Bài 5:(1 điểm)
Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kì của tập hợp {0;1;2;...;14}. Chứng minh tồn tại hia tập hợp con $B_1$ và $B_2$ của tập hợp A ( $B_1$ và $B_2$ khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng tất cả các phần tử của tập hợp $B_1$ bằng tổng tất cả phần tử của tập hợo $B_2$.
Đề tuyển sinh chuyên chuyên toán-tin Hà Nội-Ams
Bắt đầu bởi inhtoan, 01-06-2009 - 23:32
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
