Đến nội dung

Hình ảnh

Nhào trộn cũ và mới

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng

$\dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Đẳng thức tại $a=b=c$ hoặc $abc=0$.

Đằng sau bất đẳng thức đẹp đẽ này có rất nhiều điều thú vị. :P
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#2
Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng

$\dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Đẳng thức tại $a=b=c$ hoặc $abc=0$.

Đằng sau bất đẳng thức đẹp đẽ này có rất nhiều điều thú vị. :)

công nhận anh Lâm toàn chế ra mấy bài khó nuốt :D
đây là lời giải của em:
bđt tương đương với:
$abc\left( {\sum {\dfrac{1}{(b+c)({{b^2} + bc + {c^2}})}} } \right) \ge \dfrac{{4abc}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}}$
ta chỉ cần chứng minh:
$\sum {\dfrac{{(a + b)(a + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} \ge 4$
đến đây có thể có nhiều cách giải nhưng em vốn khoái hiện đại nên xài S.O.S
$\Leftrightarrow \sum {\left( {\dfrac{{({a^2} - bc) + (a - b)(a + 4b) + (a - c)(a + 4c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} \right)} \ge 0$
$\Leftrightarrow \sum {\left( {\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} \right)} + \sum {{{(a - b)}^2}} \left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + 5{c^2} + 6ab + bc}}{{({b^2} + bc + {c^2})({a^2} + ab + {b^2})}}} \right) \ge 0$
ta có thể dễ dàng chứng minh được
$\sum {\left( {\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} \right)} + \ge 0$
từ đó suy ra đpcm
đẳng thức xảy ra tại tâm và tại biên :D
cái tích abc ở bên chỉ có mỗi mục đích là làm cho đẳng thức xảy ra thêm tại biên chứ chả có ý gì khác :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 02-06-2009 - 13:57

=.=


#3
tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết
ta có:
$VT-VP=\dfrac{abc(\sum a^6+2\sum_{sym}a^5b-2\sum_{sym}a^4b^2-\sum a^3b^3)}{\prod (a^2+ab+b^2)*\prod (a+b)}$
chú ý
$2\sum_{sym}a^5b \geq 2\sum_{sym}a^4b^2 $ (do [5,1,0]>>[4,2,0])
và $\sum a^6 \geq \sum a^3b^3$
cộng 2 bdt trên lại
ta có $VT-VP\geq 0$
ĐPCM
'=' khi abc=0 hoặc a=b=c

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#4
Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết

ta có:
$VT-VP=\dfrac{abc(\sum a^6+2\sum_{sym}a^5b-2\sum_{sym}a^4b^2-\sum a^3b^3)}{\prod (a^2+ab+b^2)*\prod (a+b)}$
chú ý
$2\sum_{sym}a^5b \geq 2\sum_{sym}a^4b^2 $ (do [5,1,0]>>[4,2,0])
và $\sum a^6 \geq \sum a^3b^3$
cộng 2 bdt trên lại
ta có $VT-VP\geq 0$
ĐPCM
'=' khi abc=0 hoặc a=b=c

chà chà,expand ghê quá,chả check nổi :D
*************

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 02-06-2009 - 18:34

=.=


#5
dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết

công nhận anh Lâm toàn chế ra mấy bài khó nuốt :D
đây là lời giải của em:
bđt tương đương với:
$abc\left( {\sum {\dfrac{1}{(b+c)({{b^2} + bc + {c^2}})}} } \right) \ge \dfrac{{4abc}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}}$
ta chỉ cần chứng minh:
$\sum {\dfrac{{(a + b)(a + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} \ge 4$
đến đây có thể có nhiều cách giải nhưng em vốn khoái hiện đại nên xài S.O.S
$\Leftrightarrow \sum {\left( {\dfrac{{({a^2} - bc) + (a - b)(a + 4b) + (a - c)(a + 4c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} \right)} \ge 0$
$\Leftrightarrow \sum {\left( {\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} \right)} + \sum {{{(a - b)}^2}} \left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + 5{c^2} + 6ab + bc}}{{({b^2} + bc + {c^2})({a^2} + ab + {b^2})}}} \right) \ge 0$
ta có thể dễ dàng chứng minh được
$\sum {\left( {\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} \right)} + \ge 0$
từ đó suy ra đpcm
đẳng thức xảy ra tại tâm và tại biên :)
cái tích abc ở bên chỉ có mỗi mục đích là làm cho đẳng thức xảy ra thêm tại biên chứ chả có ý gì khác :D


Toàn chịu khó phân tích bình phương quá nhỉ, :D anh chưa check đâu :Rightarrow. Lời giải của anh sử dụng cổ điển và ko cần phải tính toán gì nhiều, anh sẽ post sau.

Điều thú vị là bất đẳng thức này có liên quan mật thiết với BDT quen biết của cụ Darij.G, (thực tế là nó mạnh hơn _ by Schur) nhưng mình lại sáng tác trong một hoàn cảnh hoàn toàn khác. BDT này cũng liên quan đến một loạt các BDT khác mà mình sẽ chia sẻ vào một thời điểm thích hợp. Mình đang thi nên bận lắm!
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#6
Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết

Toàn chịu khó phân tích bình phương quá nhỉ, :D anh chưa check đâu :D. Lời giải của anh sử dụng cổ điển và ko cần phải tính toán gì nhiều, anh sẽ post sau.

Điều thú vị là bất đẳng thức này có liên quan mật thiết với BDT quen biết của cụ Darij.G, (thực tế là nó mạnh hơn _ by Schur) nhưng mình lại sáng tác trong một hoàn cảnh hoàn toàn khác. BDT này cũng liên quan đến một loạt các BDT khác mà mình sẽ chia sẻ vào một thời điểm thích hợp. Mình đang thi nên bận lắm!

hix,em đã nói là có nhiều cách để giải rồi mà,dùng cổ điển thì có thể làm như sau:
xài trực tiếp chebyshev
sử dụng cái bổ đề làm mạnh này đc chế từ bài toán của anh:
$\sum\dfrac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq\dfrac{5}{3}\dfrac{1}{xy+yz+zx}+\dfrac{4}{3}\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
sau đó đưa về 2 biến $a^2+b^2+c^2$và $ab+bc+ca$ rồi cứ thế mà chém tiếp :D
hoặc cũng có thể chứng minh:
$\dfrac{{(a + b)(a + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} \ge \dfrac{{2a(b + c)}}{{{b^2} + bc + ca}} \ge 4$
theo vornicu Schur,chỗ này kể cũng lạ,ta lại có thêm một chuỗi bđt
$\dfrac{{(a + b)(a + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} \ge \dfrac{{2a(b + c)}}{{{b^2} + bc + ca}} \ge 2\sum {\dfrac{a}{{b + c}}} + \dfrac{{8abc}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge 4$
giống với chuỗi bđt
$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge {(a + b + c)^2} \ge 3(ab + bc + ca)$
mà các bđt trong chuỗi đều tương đương với nhau :D
phát hiện của em hay hok,cho một cái comment đi nào :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 12-06-2009 - 08:26

=.=





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh