Chủ đề này có 3 trả lời

[VanNam1012]

Các bác giúp em hai bài này đi:
1. Cho đa thức $P(x)=x^{2n}+2x^{2n-2}+...+(2n-2)x^2+2n$ ( n lẻ)
CMR P(x) bất khả quy.
2. Cho đa thức $P(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a^{2n}x^2n+..+a_{1}x+a_{0}$ là đa thức nguyên.
Biết $|P(x)|=1$ có $2n+1$ nghiệm nguyên
CMR P(x) bất khả quy.

[hongthaidhv]

Các bác giúp em hai bài này đi:
1. Cho đa thức $P(x)=x^{2n}+2x^{2n-2}+...+(2n-2)x^2+2n$ ( n lẻ)
CMR P(x) bất khả quy.
2. Cho đa thức $P(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a^{2n}x^2n+..+a_{1}x+a_{0}$ là đa thức nguyên.
Biết $|P(x)|=1$ có $2n+1$ nghiệm nguyên
CMR P(x) bất khả quy.

Bài 1: Giã sử P(x) khả quy. Có nghĩa t?#8220;n tại hai đa thức f(x) và g(x) thỏa mản Đk
$P(x)=f(x)g(x)=( a_{p}x^P + a_{p-1}x^{p-1}+...+a_{1}x +a_{0}) (b_{q}x^q + b_{q-1}x^{q-1}+...+b_{1}x +b_{0})$ ( với $p+q=2n$).
Dễ thấy $a_{0}b_{0}=2n+1$. Do n lẽ nên 2n chia hết cho 2 và không chia hết cho 4 => trong hai số $a_{0}; b_{0}$ có 1 số chẵm và 1 số lẽ.
Không mất tính TQ giả sử $a_{0}$ chẵn và $b_{0}$ lẽ.. Ta sẽ cm $a_{i}$ chẵn với mọi $i$. Thật vậy, giả sử $a_{k}$ là hệ sô đầu tiên lẽ ( 0<k<n).
Gọi hệ số của $x^k$ là $C_{k}$. Khi đó $C_{k}=a_{k}b_{0}+a_{k-1}b_{1}+...+a_{0}b_{k}$ nếu $k \leq q.$
và $C_{k}=a_{k}b_{0}+a_{k-1}b_{1}+...+a_{k-q}b_{q}$ nếu $k>q$
-Nếu k lẻ thì $C_{k}=0$
-Nếu k chẵn thì $C_{k}$ chẵn ( do hệ số của P(x) chẵn)
Như vậy $C_{k}$ luôn chẵn.. Mặt khác theo cách chọn của k nếu $C_{k}$ chẵn thì $a_{k}b_{0}$ chẵn mà $a_{k} ; b_{0}$ đều lẻ => $a_{i}$ chẵm với mọi $i$.
=> $a_{p}b_{q}$ chẵn mà $a_{p}b_{q}=1$ => mẫu thuẫn=> P(x) bất khả quy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hongthaidhv: 04-06-2009 - 21:11

[hongthaidhv]

Các bác giúp em hai bài này đi:
1. Cho đa thức $P(x)=x^{2n}+2x^{2n-2}+...+(2n-2)x^2+2n$ ( n lẻ)
CMR P(x) bất khả quy.
2. Cho đa thức $P(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a^{2n}x^2n+..+a_{1}x+a_{0}$ là đa thức nguyên.
Biết $|P(x)|=1$ có $2n+1$ nghiệm nguyên
CMR P(x) bất khả quy.

Bài 2: Giả sử P(x) có thể phân tích thành hai đa thức f(x) và g(x). Dùng đk của đa thức có 2n+1 nghiệm và đa thức là đa thức nguyên ta sẽ cm đc một trong hai đa thức f(x) hoặc g(x) là hằng số
( hôm nay bận nếu rảnh ngày mai mình post lời giải cụ thể cho mọi người)

[hongthaidhv]

Bài 2: Giả sử P(x) có thể phân tích thành hai đa thức f(x) và g(x). Dùng đk của đa thức có 2n+1 nghiệm và đa thức là đa thức nguyên ta sẽ cm đc một trong hai đa thức f(x) hoặc g(x) là hằng số
( hôm nay bận nếu rảnh ngày mai mình post lời giải cụ thể cho mọi người)

Do hôm qua bận nên hôm nay mới post lên đc, mong mọi người thông cảm:
Giả sử $P(x)$ là đa thức khả quy trên $Z[x]$ có nghaix là tồn tại hai đa thức $f(x); g(x) \in Z[x]$ thỏa mản: $P(x)=f(x)g(x)$
Ta có $deg(f)+ deg (g) =2n+1 => Min ( deg(f); deg(g)) \leq n$. Giả sử $deg(f) \leq n$.
Gọi $x_{i}$ với $i=1;2;..;2n+1$ là 2n+1 nghiệm nguyên của $|P(x)| =1$. khi đó $|P(x_{i})|=|f(x_{i})||g(x_{i})|=1 (1)$ . Do $f(x); g(x)$ là các đa thức nguyên nên từ $(1) => |f(x_{i})|=1 \forall i=1;2;..;2n+1$. Suy ra một trong hai pt $f(x)=1$ hoặc $f(x)=-1$ có ít nhất $n+1$ nghiệm nguyên mà ta cũng có $deg(f) \leq n => f(x)$ là hằng số $=> P(x)$ bất khả quy