Đến nội dung

Hình ảnh

Bài số đề năng khiếu 09-10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
NguLauDotBen

NguLauDotBen

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
Nè, mọi người xem giùm em 2 bài này làm seo:
C/m không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho:
$a) a^2 + a =2010^{2009}$
$b) a^3 + a^2 +a =2009^{2010}$
2 câu a,b hoàn toàn độc lập nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguLauDotBen: 05-06-2009 - 13:28


#2
tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết
Cả 2 bài đều đơn giản với chung 1 ý tưởng
a,ta có :
$a(a+1)=30^{2009}*67^{2009}$
chú ý là (a,a+1)=1 nên có 2 TH
TH1:a+1 chia hết cho $67^{2009}$ suy ra $a\geq 67^{2009}-1 $ mà $a \le 30^{2009}$ suy ra vô lý
TH2: a chia hết cho $67^{2009}$ tương tự suy ra loại
b,(a,a^2+a+1)=1 nên ta thấy
(chú ý 2009=41*49)
TH1:$a^2+a+1=2009^{2010}$ suy ra loại
TH2:$a^2+a+1=49^{2010}$ suy ra loại
suy ra ko tồn tại
ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 05-06-2009 - 14:48

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#3
Te.B

Te.B

    Once [I]MC-ers ~ 4ever [I]MC-ers

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
a, Xét các số dư của a khi chia cho 7, ta có:
$ a \vdots 7 \Rightarrow {a}^{2}+a \equiv 0 (mod 7) $
$ a \equiv \pm 1 (mod 7) \Rightarrow {a}^{2} \equiv 1(mod 7) $
$ a \equiv \pm 2 (mod 7) \Rightarrow {a}^{2} \equiv 4(mod 7) $
$ a \equiv \pm 3 (mod 7) \Rightarrow {a}^{2} \equiv 2(mod 7) $
Vậy $ {a}^{2}+a $ khi chia cho 7 sẽ nhận các số dư là 0;2;5;6. (1)
Mà $ {2010}^{2009} \equiv 1 (mod7) $. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra kô tồn tại a.
b, Với $ a \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow {a}^{3}+{a}^{2}+a \equiv 0 (mod 3) $
$ a \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow {a}^{3}+{a}^{2}+a \equiv 0 (mod 3) $
$ a \equiv -1 (mod 3) \Rightarrow {a}^{3}+{a}^{2}+a \equiv -1 (mod 3) $
Vậy $ {a}^{3}+{a}^{2}+a $ khi chia cho 3 sẽ nhận các số dư là 0 và 2. (1)
Mà $ {2009}^{2010} \equiv {(-1)}^{2010} \equiv 1 (mod 3) $ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại a.
P/S: PTNK thi mau vậy sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Te.B: 05-06-2009 - 15:00

ĐI THI TA VỐN KHÔNG HAM ;))
NHƯNG VÌ CÓ GIẢI NÊN LÀM CHO VUI ;))
T/G: CRAZY FAN OF NO-EXAM CLUB =))


#4
NguLauDotBen

NguLauDotBen

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
Mấy anh ơi câu b em làm vầy hok bik có dc chấp nhận hok.
Ta thấy: $2009^{2010}$ là số lẻ suy ra $a$ phải là số lẻ để $a^3+a^2+a$là số lẻ
và $2009^{2010}$ có chữ số tận cùng là 1.
Xét chữ số tận cùng của a : 1, 3, 5, 7, 9 rồi suy ra chữ số tận cùng của $a^3+a^2+a$ ta thấy không = 1
Vậy không tồn tại a

#5
Te.B

Te.B

    Once [I]MC-ers ~ 4ever [I]MC-ers

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Mấy anh ơi câu b em làm vầy hok bik có dc chấp nhận hok.
Ta thấy: $2009^{2010}$ là số lẻ suy ra $a$ phải là số lẻ để $a^3+a^2+a$là số lẻ
và $2009^{2010}$ có chữ số tận cùng là 1.
Xét chữ số tận cùng của a : 1, 3, 5, 7, 9 rồi suy ra chữ số tận cùng của $a^3+a^2+a$ ta thấy không = 1
Vậy không tồn tại a

Cách giải này cũng ok.
Chúc anh đỗ vào PTNK nhé :)

ĐI THI TA VỐN KHÔNG HAM ;))
NHƯNG VÌ CÓ GIẢI NÊN LÀM CHO VUI ;))
T/G: CRAZY FAN OF NO-EXAM CLUB =))


#6
pth_tdn

pth_tdn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
Không biết khi thi được dùng đồng dư thức không ạ? Nếu được thì em định giải câu b) thế này:
b. Ta có $2009^{2010} \equiv 2^{2010}=4^{1005} \equiv 1 (mod 3)$
Xét các số dư của a và $a^2+a+1$ ta được $a(a^2+a+1)$ chia 3 dư 0 hoặc 2.
Mà $2009^{2010}$ chia 3 dư 1.
=>Đpcm.

#7
drnohad

drnohad

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Nè, mọi người xem giùm em 2 bài này làm seo:
C/m không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho:
$a) a^2 + a =2010^{2009}$
$b) a^3 + a^2 +a =2009^{2010}$
2 câu a,b hoàn toàn độc lập nha

Câu a mình còn cách khác
$a^2 +a = 2010^{2009}$
;) $4a^2 + 4a +1 = 4.2010^{2009} + 1$
:D $(2a+1)^2 = 4.2010^{2009} + 1$
Mà số chính phương chia 7 dư 0,1,2,4 trong khi $4.2010^{2009}+1$ chia 7 dư 5
:Leftrightarrow Mâu thuẫn
Vậy ko tồn tại a

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi drnohad: 12-06-2009 - 22:53


#8
khanhtm

khanhtm

    Super Monkey

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Cả 2 bài đều đơn giản với chung 1 ý tưởng
a,ta có :
$a(a+1)=30^{2009}*67^{2009}$
chú ý là (a,a+1)=1 nên có 2 TH
TH1:a+1 chia hết cho $67^{2009}$ suy ra $a\geq 67^{2009}-1 $ mà $a \le 30^{2009}$ suy ra vô lý
TH2: a chia hết cho $67^{2009}$ tương tự suy ra loại
b,(a,a^2+a+1)=1 nên ta thấy
(chú ý 2009=41*49)
TH1:$a^2+a+1=2009^{2010}$ suy ra loại
TH2:$a^2+a+1=49^{2010}$ suy ra loại
suy ra ko tồn tại
ĐPCM

câu a. đây là lời giải trong bài làm ;)
(a,a+1)=1 => a và a+1 chỉ có thể có dạng $A^{2008}$ và $B^{2008}$ Với (A,B)=1 và $A,B \ge 1$
Mặt khác, rõ ràng $B^{2008}-A^{2008} \neq 1$
=> đpcm
câu b. Y hệt bên trên :D




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh