Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bài số đề năng khiếu 09-10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 NguLauDotBen

NguLauDotBen

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 05-06-2009 - 13:27

Nè, mọi người xem giùm em 2 bài này làm seo:
C/m không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho:
$a) a^2 + a =2010^{2009}$
$b) a^3 + a^2 +a =2009^{2010}$
2 câu a,b hoàn toàn độc lập nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguLauDotBen: 05-06-2009 - 13:28


#2 tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bóng bàn ,cầu lông ,học toán ,.......

Đã gửi 05-06-2009 - 14:46

Cả 2 bài đều đơn giản với chung 1 ý tưởng
a,ta có :
$a(a+1)=30^{2009}*67^{2009}$
chú ý là (a,a+1)=1 nên có 2 TH
TH1:a+1 chia hết cho $67^{2009}$ suy ra $a\geq 67^{2009}-1 $ mà $a \le 30^{2009}$ suy ra vô lý
TH2: a chia hết cho $67^{2009}$ tương tự suy ra loại
b,(a,a^2+a+1)=1 nên ta thấy
(chú ý 2009=41*49)
TH1:$a^2+a+1=2009^{2010}$ suy ra loại
TH2:$a^2+a+1=49^{2010}$ suy ra loại
suy ra ko tồn tại
ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 05-06-2009 - 14:48

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#3 Te.B

Te.B

    Once [I]MC-ers ~ 4ever [I]MC-ers

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Sách, các môn khoa học tự nhiên, tiếng anh ^^, âm nhạc, những thứ mà phần lớn con gái kô thik. :D

Đã gửi 05-06-2009 - 14:59

a, Xét các số dư của a khi chia cho 7, ta có:
$ a \vdots 7 \Rightarrow {a}^{2}+a \equiv 0 (mod 7) $
$ a \equiv \pm 1 (mod 7) \Rightarrow {a}^{2} \equiv 1(mod 7) $
$ a \equiv \pm 2 (mod 7) \Rightarrow {a}^{2} \equiv 4(mod 7) $
$ a \equiv \pm 3 (mod 7) \Rightarrow {a}^{2} \equiv 2(mod 7) $
Vậy $ {a}^{2}+a $ khi chia cho 7 sẽ nhận các số dư là 0;2;5;6. (1)
Mà $ {2010}^{2009} \equiv 1 (mod7) $. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra kô tồn tại a.
b, Với $ a \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow {a}^{3}+{a}^{2}+a \equiv 0 (mod 3) $
$ a \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow {a}^{3}+{a}^{2}+a \equiv 0 (mod 3) $
$ a \equiv -1 (mod 3) \Rightarrow {a}^{3}+{a}^{2}+a \equiv -1 (mod 3) $
Vậy $ {a}^{3}+{a}^{2}+a $ khi chia cho 3 sẽ nhận các số dư là 0 và 2. (1)
Mà $ {2009}^{2010} \equiv {(-1)}^{2010} \equiv 1 (mod 3) $ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại a.
P/S: PTNK thi mau vậy sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Te.B: 05-06-2009 - 15:00

ĐI THI TA VỐN KHÔNG HAM ;))
NHƯNG VÌ CÓ GIẢI NÊN LÀM CHO VUI ;))
T/G: CRAZY FAN OF NO-EXAM CLUB =))


#4 NguLauDotBen

NguLauDotBen

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 05-06-2009 - 21:04

Mấy anh ơi câu b em làm vầy hok bik có dc chấp nhận hok.
Ta thấy: $2009^{2010}$ là số lẻ suy ra $a$ phải là số lẻ để $a^3+a^2+a$là số lẻ
và $2009^{2010}$ có chữ số tận cùng là 1.
Xét chữ số tận cùng của a : 1, 3, 5, 7, 9 rồi suy ra chữ số tận cùng của $a^3+a^2+a$ ta thấy không = 1
Vậy không tồn tại a

#5 Te.B

Te.B

    Once [I]MC-ers ~ 4ever [I]MC-ers

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Sách, các môn khoa học tự nhiên, tiếng anh ^^, âm nhạc, những thứ mà phần lớn con gái kô thik. :D

Đã gửi 06-06-2009 - 08:30

Mấy anh ơi câu b em làm vầy hok bik có dc chấp nhận hok.
Ta thấy: $2009^{2010}$ là số lẻ suy ra $a$ phải là số lẻ để $a^3+a^2+a$là số lẻ
và $2009^{2010}$ có chữ số tận cùng là 1.
Xét chữ số tận cùng của a : 1, 3, 5, 7, 9 rồi suy ra chữ số tận cùng của $a^3+a^2+a$ ta thấy không = 1
Vậy không tồn tại a

Cách giải này cũng ok.
Chúc anh đỗ vào PTNK nhé :)

ĐI THI TA VỐN KHÔNG HAM ;))
NHƯNG VÌ CÓ GIẢI NÊN LÀM CHO VUI ;))
T/G: CRAZY FAN OF NO-EXAM CLUB =))


#6 pth_tdn

pth_tdn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM

Đã gửi 11-06-2009 - 11:58

Không biết khi thi được dùng đồng dư thức không ạ? Nếu được thì em định giải câu b) thế này:
b. Ta có $2009^{2010} \equiv 2^{2010}=4^{1005} \equiv 1 (mod 3)$
Xét các số dư của a và $a^2+a+1$ ta được $a(a^2+a+1)$ chia 3 dư 0 hoặc 2.
Mà $2009^{2010}$ chia 3 dư 1.
=>Đpcm.

#7 drnohad

drnohad

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 12-06-2009 - 22:52

Nè, mọi người xem giùm em 2 bài này làm seo:
C/m không tồn tại số tự nhiên $a$ sao cho:
$a) a^2 + a =2010^{2009}$
$b) a^3 + a^2 +a =2009^{2010}$
2 câu a,b hoàn toàn độc lập nha

Câu a mình còn cách khác
$a^2 +a = 2010^{2009}$
;) $4a^2 + 4a +1 = 4.2010^{2009} + 1$
:D $(2a+1)^2 = 4.2010^{2009} + 1$
Mà số chính phương chia 7 dư 0,1,2,4 trong khi $4.2010^{2009}+1$ chia 7 dư 5
:Leftrightarrow Mâu thuẫn
Vậy ko tồn tại a

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi drnohad: 12-06-2009 - 22:53


#8 khanhtm

khanhtm

    Super Monkey

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên tin PTNK

Đã gửi 13-06-2009 - 08:29

Cả 2 bài đều đơn giản với chung 1 ý tưởng
a,ta có :
$a(a+1)=30^{2009}*67^{2009}$
chú ý là (a,a+1)=1 nên có 2 TH
TH1:a+1 chia hết cho $67^{2009}$ suy ra $a\geq 67^{2009}-1 $ mà $a \le 30^{2009}$ suy ra vô lý
TH2: a chia hết cho $67^{2009}$ tương tự suy ra loại
b,(a,a^2+a+1)=1 nên ta thấy
(chú ý 2009=41*49)
TH1:$a^2+a+1=2009^{2010}$ suy ra loại
TH2:$a^2+a+1=49^{2010}$ suy ra loại
suy ra ko tồn tại
ĐPCM

câu a. đây là lời giải trong bài làm ;)
(a,a+1)=1 => a và a+1 chỉ có thể có dạng $A^{2008}$ và $B^{2008}$ Với (A,B)=1 và $A,B \ge 1$
Mặt khác, rõ ràng $B^{2008}-A^{2008} \neq 1$
=> đpcm
câu b. Y hệt bên trên :D




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh