Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 3 Bình chọn

Tìm min $MN$, $M\in AB'; N \in BC', (MN,(ABCD))=60^o$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 euler

euler

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 275 Bài viết

Đã gửi 06-06-2005 - 13:10

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh là $a$
Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng có 2 đầu nằm trên hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ đồng thời hợp với mặt phẳng $ABCD$ một góc $60^o$


http://mathnfriend.net
http://mathnfriend.org
địa chỉ nào cũng được!

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-12-2013 - 14:55


Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng (hoặc phủ định đúng) được bài toán này. Nếu hết ngày 27/12 mà vẫn không có ai giải được hoặc phủ định được bài toán này, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-01-2014 - 11:51

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1919 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 26-12-2013 - 17:06

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh là $a$
Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng có 2 đầu nằm trên hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ đồng thời hợp với mặt phẳng $ABCD$ một góc $60^o$

Gọi $M_{0},N_{0}$ lần lượt là hình chiếu của $M,N$ trên $(ABCD)$.

Đặt $\overrightarrow{M_{0}M}=m.\overrightarrow{AA'}$ ; $\overrightarrow{N_{0}N}=n.\overrightarrow{AA'}$ ($m,n\in \mathbb{R}$)

Ta có : $tan(MN,(ABCD))=\frac{\left | m-n \right |.a}{M_{0}N_{0}}=\frac{\left | m-n \right |.a}{\sqrt{(a-ma)^2+(na)^2}}=\frac{\left | m-n \right |}{\sqrt{(1-m)^2+n^2}}$

$(MN,(ABCD))=60^o\Leftrightarrow \frac{\left | m-n \right |}{\sqrt{(1-m)^2+n^2}}=\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 2n^2+2mn+(2m^2-6m+3)=0$ (1)

(1) có nghiệm khi và chỉ khi $-3m^2+12m-6=6-3(m-2)^2\geqslant 0\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}\leqslant m\leqslant 2+\sqrt{2}$ (2)

Khi đó (1) có các nghiệm là $n_{1}=\frac{-m+\sqrt{6-3(m-2)^2}}{2}$ ; $n_{2}=\frac{-m-\sqrt{6-3(m-2)^2}}{2}$

$\Rightarrow \left | m-n_{1} \right |=\left | \frac{3m-\sqrt{6-3(m-2)^2}}{2} \right |$ ; $\left | m-n_{2} \right |=\left | \frac{3m+\sqrt{6-3(m-2)^2}}{2} \right |$

Chú ý rằng $MN$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M_{0}N_{0}$ đạt GTNN $\Leftrightarrow \left | m-n \right |$ đạt GTNN.

Mà từ (2) suy ra $m> 0$ nên $\left | m-n \right |$ đạt GTNN $\Leftrightarrow \left | m-n_{1} \right |$ đạt GTNN hay $\left | 3m-\sqrt{6-3(m-2)^2} \right |=3m-\sqrt{6-3(m-2)^2}$ đạt GTNN

(Dễ dàng chứng minh được $3m> \sqrt{6-3(m-2)^2}\geqslant 0,\forall m\in \left [ 2-\sqrt{2};2+\sqrt{2} \right ]$)

Xét hàm $f(m)=3m-\sqrt{6-3(m-2)^2}$ trên đoạn $\left [ 2-\sqrt{2};2+\sqrt{2} \right ]$ (hàm $f(m)$ liên tục trên đoạn này)

$f'(m)=3+\frac{3(m-2)}{\sqrt{6-3(m-2)^2}}$

$f'(m)=0\Leftrightarrow \sqrt{6-3(m-2)^2}+m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{4-\sqrt{6}}{2}$ (bỏ nghiệm lớn hơn $2$)

Vậy trên $\left [ 2-\sqrt{2};2+\sqrt{2} \right ]$, hàm $f(m)$ đạt cực trị duy nhất khi $m=\frac{4-\sqrt{6}}{2}$ và đó là cực tiểu vì dễ thấy $f'(2)> 0$ ($2> \frac{4-\sqrt{6}}{2}$)

$\Rightarrow MN_{min}=\frac{\left | m-n_{1} \right |.a}{sin60^o}=\left | m-n_{1} \right |.\frac{2}{\sqrt{3}}.a=(m\sqrt{3}-\sqrt{2-(m-2)^2}).a=[\frac{(4-\sqrt{6}).\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2-(\frac{6}{4})}].a=2(\sqrt{3}-\sqrt{2}).a$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-12-2013 - 08:51

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh