[quote name='tuanrint' post='201106' date='Jun 12 2009, 10:35 AM']Giúp em mấy bài toán này với !
Bài 1: Ngày 2 tháng 9 năm 1998 là ngày thứ tư .Hỏi
a/ Ngày 1-5-1999 vào ngày thứ mấy trong tuần .
b/ Ngay 2-9-2001 vào ngày thứ mấy trong tuần .
Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên m ta có
a/ m(m+1)(2m+1)chia hết cho 6 .
b/ m(2m+7)(7m+1) chia hết cho 6.
Bài 3: Chứng minh rằng ba số tự nhiên liên tiếp có tổng 1số lẻ thì tích của ba số đó chia hết cho 24.
Bài 4: Chứng minh rằng $3+ 3^2+3^3+.....+3^99+3^100$ chia hết cho 120.
Bài 5: Với mọi số nguyên a và b chứng minh rằng:
a/ $a^2+1$ không chia hết cho 3.
b/Nếu $a^2+b^2$ chia hết cho 3 thì cả a và b chia hết cho ba.
c/ $a^5+b^5$ chia hết cho 5 khi và chi khi a+b chia hết cho 5.[/quote]
[quote name='pth_tdn' date='Jun 12 2009, 02:59 PM' post='201122']
5/ $x^2$ chia 3 dư 0 hoặc 1.
a) Suy ra $a^2+1$ chia 3 dư 1 hoặc 2 (không chia hết cho 3)
b)$a^2+b^2$ chia hết cho 3.
Nếu a và b chia khác số dư thì a+b chia 3 dư 1 (do 1 sốchia 3 dư 0, số còn lại dư 1)
Nếu a và b chia cùng dư thì hoặc a+b chia 3 dư 2 (cùng dư 1) hoặc a và b cùng chia 3 dư 0 thì ta có đpcm.
c)$a^5-a+b^5-b=a(a^4-1)+b(b^4-1)=a(a^2-1)(a^2+1)+b(b^2-1)(b^2+1)=(a-1)a(a+1)(a^2+1)+(b-1)b(b+1)(b^2+1)$
Xét tích $(k-1)k(k+1)(k^2+1)$ với k bằng a hoặc b. Ta có: Nếu k chia 5 dư 0;1;4 thì (k-1)k(k+1) chia hết cho 5.
Nếu k chia 5 dư 2 hay 3 thì $k^2+1$ chia hết cho 5.
Suy ra tích trên luôn chia hết cho 5.=>$(a^5+b^5)-(a+b)$ luôn chia hết cho 5.
Mà $a^5+b^5$ chia hết cho 5 nên (a+b) chia hết cho 5.
3/ 3 số tự nhiên liên tiếp có tổng lẻ nên phải có 2 số chẵn và 1 số lẻ.
Trong 2 số chẵn phải có một số chia 4 dư 2(chia hết cho 2) và 1 số chia hết cho 4.=> Tích chia hết cho 8.
Vì là tích 3 stn liên tiếp nên tồn tại một thừa số chia hết cho 3.=> Tích chia hết cho 3.
Do (8,3)=1 nên tích chia hết cho 24.
4/ Đặt tổng bằng A.
=> $3A=3^2+...+3^{101}$
=> $2A=3^{101}-3=3(3^{100}-1)=3(3^{50}-1)(3^{50}+1)=3(3^{25}-1)(3^{25}+1)(3^{50}+1)$
*2A chia hết cho 3. Mà (2,3)=1 nên A chia hết cho 3.
*$3^{25}-1; 3^{25}+1$ là 2 số chẵn liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. $3^{50}+1$ chia hết cho 2.=> 2A chia hết cho 16.=> A chia hết cho 8.
*Xét chữ số tận cùng, có $3^{50}+1$ tận cùng bằng 0 chia hết cho 5.
Suy ra A chia hết cho 3;5 và 8. Mà (3,5,8)=1 nên A chia hết cho 3.5.8=120.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pth_tdn: 12-06-2009 - 15:17
