Chủ đề này có 18 trả lời

[admireM]

Cùng giải vui nhé dễ thôi, cố gắng 5 dòng:

1 tỷ số nguyên dương liên tiếp ắt có một số có tổng các chữ số chia hết cho 81.

[admireM]

Hình như bài này khó chứ không hề dễ như mình nghĩ

[AvidAbel_9x09]

Có lẽ bài này khó thật!
Nhưng mà là khó nói!

[admireM]

Có lẽ bài này khó thật!
Nhưng mà là khó nói!

Bạn cứ đưa thẳng quan điểm của bạn ra?? bạn nói ẩn ý quá

[AvidAbel_9x09]

Em thử làm nha!nếu có ji thiếu sót mong đc chỉ bảo!:
"Ta có nhận xét sau đây: trong 1 tỷ số TN liên tiếp nếu ta đem cộng tất cả các chữ số của các số đó vào thì ta sẽ thu đc một tập hợp gồm ít nhất là 81 số TN liên tiếp.Để minh chứng cho nx trên ta có thể hình dung với TH đơn giản nhất là các số đó là các số từ 1 đến $10^{9}$ thì "tập hợp" mà ta nói ở trên sẽ gồm 81 phần tử khác nhau là 1,2,3,4,...,81.Từ đó dĩ nhiên ta có kết quả của bài toán!"

[phong than]

Nói như em thì ai cũng nói được.
Bài toán tương đương với việc chứng minh với mọi số $M$ có tổng các chữ số chia hết cho 81 thì luôn tồn tại một số $N$ cũng có tổng các chữ số chia hết cho 81 và $0<N-M<10^9$. Thật vậy, giả sử $M=Ax_1x_2 . . . x_9$.
Nếu tồn tại $i<j$ sao cho $x_i<x_j$, thì ta chọn $N$ bằng các đổi chỗ hai chữ số $x_i$ và $x_j$ của $M$.
Mặt khác, nếu tồn tại $i<j$ sao cho $a_i<9$ và $a_j>0$, thì $N$ thu được bằng cách đổi $a_i$ thành $a_i+1$ và $a_j$ thành $a_j-1$.
Ngược lại cả hải trường hợp trên đều không xảy ra thì chỉ có hai trường hợp này:
1. $M=Ba99 . . . 900 . . . 0$, trong đó $a$ là một chữ số nhỏ hơn 9 ( có thể bằng 0).
$N=B(a+1)00 . . . 089 . . . 900 . . . 0$ ,trong đó số các số 9 và 0 ở cuối là 8 và số các số 9 của $N$ bằng số dư của số các số 9 của $M$ trừ đi 1 khi chia cho 9.
2. $M=Ba00 . . . 0$ (có 8 chữ số 0), trong đó $a$ là một chữ số nhỏ hơn 9.
Nếu $a=0$ thì $N=B99 . . . 9$
Nếu $a\geq 1$ ta có :
$M=Cb99 . . . 9a00 . . . 0$, trong đó $b$ là một chữ số nhỏ hơn 9 ( có thể bằng 0).
$N=C(b+1)00 . . . 0(a-1)99 . . . 900 . . . 0$ ,trong đó số các số 9 và 0 ở cuối là 8 và số các số 9 bằng số dư của số các số 9 của $M$ khi chia cho 9.
3.$M=Bc99 . . . 9a00 . . . 0$, trong đó c nằm ngoài 9 số cuối của $M$, a>1 nằm trong 9 số cuối của $M$.
Khi đó $N=B(c+1)00 . . . 099. . . 9(a-1)99 . . . 900 . . . 0$. Trong đó số các số 9 trong 9 số cuối cùng của $N$ bằng số dư của số các số 9 của $M$ khi chia cho 9.
Với hướng giải này ta dễ dàng giải được các bài toán tổng quát hơn.(quá 5 dòng rồi)
Các bạn xem hộ mình có đúng không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 07-07-2009 - 17:59

[admireM]

Hơi băn khoăn. Bạn thử nói xem số N= 81999 999990000 thì được bạn thay thế như thế nào? có phải là N= 82000 999990000, như vậy thì không còn đảm nữa phải không?

[phong than]

Sao vậy, bạn đọc kĩ đi. Khi đó $N=82000899999000$( trường hợp 1).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 06-07-2009 - 18:06

[admireM]

Sao vậy, bạn đọc kĩ đi. Khi đó $N=82000899999000$( trường hợp 1).

Ừa chúng ta cùng nhìn kỹ lại

[lehoan]

bài toán tổng quát là bài N4 shortlist VMEO II, và là bài 4 tháng 10 hay bài 4 tháng 11 gì đó của VMEO II kết quả tổng quát là thế nào thì giờ anh không tìm được file lời giải của tác giả anh_minh nữa

http://diendantoanho...amp;hl=VMEO III

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoan: 07-07-2009 - 08:16

[phong than]

Mình đã sửa lại. Mọi người xem thử. Lúc đầu, tính luôn cả số 8.
$N=82000899999990$.( Và chú ý mấy số 9 là xuất hiện ở trên không phải là trong các ẩn số $B,C$ đâu ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 07-07-2009 - 10:49

[admireM]

Mình đã sửa lại. Mọi người xem thử. Lúc đầu, tính luôn cả số 8.
$N=82000899999990$.( Và chú ý mấy số 9 là xuất hiện ở trên không phải là trong các ẩn số $B,C$ đâu ).

Hê trông không tương thích với cách giải lắm nhỉ. Okie vậy số M= A819 999999999 trong đó A có tổng các chữ số là 63 thì được Phong thay thế như thế nào (theo cách giải ý nhé chứ không phải theo trường hợp cụ thể nay đâu)

[phong than]

$N=A820800000000$.
$63+18=81$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 07-07-2009 - 12:01

[phong than]

2 số mình chọn đều tương thích với cách giải cả(spam nhìu quá ).(Bạn admire bảo chỉ hộ minh chỗ sai sót cái)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 07-07-2009 - 12:07

[admireM]

2 số mình chọn đều tương thích với cách giải cả(spam nhìu quá ).(Bạn admire bảo chỉ hộ minh chỗ sai sót cái)

Okie, cách giải này của Phong Than là ổn rồi, cách này rất hay vì nó là cách thể hiện mạch suy luận.

Mình có cách khác đây, mời các bạn tham khảo:

gọi S(a) là tổng số các chữ số của a, trong 9000000000 số đầu tiên có một số chia hết cho 900000000. Gọi là số A khi đó S(A)=9k
Xét các số A, A+9, A+99, ...,A+99999999. Các số này nằm trong 1 tỷ số đã cho có tổng các chữ số lần lượt là 9k, 9(k+1),...9(k+8)
từ k đến k+8 ắt có 1 số chia hết cho 9 vì vậy trong 9 số này (thuộc 1 tỷ số đã cho) ắt có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 81

@lehoan, bài này thi chuyên toán Lam Son 10 năm về trước ắt hẳn không phải bạn gì là cậu kể ra là tác giả của bài này.
what are you trying to do man???

@phong than, very good work PHONG THAN, keep it up!!!!

[admireM]

Lời giải có rồi AdmireM mời các bạn làm bài tổng quát:

Để mình tìm lại quyển vở đã
Chứng minh rằng trong F(a) sô nguyên dương liên tiếp có một số có tổng các chữ số chia hết cho a.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi admireM: 08-07-2009 - 20:25

[phong than]

Lời giải rất hay.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 08-07-2009 - 17:00

[lehoan]

Okie, cách giải này của Phong Than là ổn rồi, cách này rất hay vì nó là cách thể hiện mạch suy luận.

Mình có cách khác đây, mời các bạn tham khảo:

gọi S(a) là tổng số các chữ số của a, trong 9000000000 số đầu tiên có một số chia hết cho 900000000. Gọi là số A khi đó S(A)=9k
Xét các số A, A+9, A+99, ...,A+99999999. Các số này nằm trong 1 tỷ số đã cho có tổng các chữ số lần lượt là 9k, 9(k+1),...9(k+8)
từ k đến k+8 ắt có 1 số chia hết cho 9 vì vậy trong 9 số này (thuộc 1 tỷ số đã cho) ắt có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 81

@lehoan, bài này thi chuyên toán Lam Son 10 năm về trước ắt hẳn không phải bạn gì là cậu kể ra là tác giả của bài này.
what are you trying to do man???

@phong than, very good work PHONG THAN, keep it up!!!!

ý mình là bài tổng quát cơ, kết quả tổng quát rất đẹp. Còn nếu sự thực là đã thi Lam Sơn rồi thì mình và bạn mình cũng không biết được, cậu ấy tổng quát từ một bài của Rumani hay Poland gì đó. novatena

[phong than]

Bài toán tổng quát là VMEO III.
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho trong $f(n)$ số nguyên dương bất kì có một số mà tổng các chữ số chia hết cho $n$.
Kết quả: giả sử $n=9k+a$, $0\leq a<9$.
*)$a=0$, $f(n)=10^k-1$.
*)$a=3$, $f(n)=4.10^k-1$.
*)$a=6$, $f(n)=10^{k+1}-1$.
*)$(a,3)=1$, $f(n)=2a.10^k-1$.
Đây cũng là bài toán tổng quát của Rumania TST 1999, với $n=11$ thì $f(n)=39$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 27-07-2009 - 18:00