Chủ đề này có 12 trả lời

[huaminhtuan]

chằc các bạn, ai cũng quen với các bài bđt sau
$ a^2 + b^2 \geq 2ab=ab+ab $
$ a^3 + b^3 \geq a^{2} b+ a b^{2} (a,b >0)$
$ a^{4} + b^{4} \geq a^{3} b+ a b^{3} $
...
một phong cách học toán bđt chính là việc tổng quát hóa các bài quen thuộc ấy:
$a^{n} + b^{n} \geq a^{n-1} b + a b^{n-1} (1)$(n là số tự nhiên,n 1,khi n lẻ thì có thêm đk là a,b dg)
CM:khi n lẻ(a,b dg):
$(1) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow (a-b)^{2} ( a^{n-2} + a^{n-3} b+...+a b^{n-3} + b^{n-3} ) \geq 0$
(đúng do a,b dg,$ (a-b)^{2} \geq 0$)
khi n chẵn n-1 lẻ
$(1) \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow (a-b)( a^{n-1} - b^{n-1} ) \geq 0$
_$a>b \Rightarrow a-b>0, a^{n-1} - b^{n-1}>0$(do n-1 lẻ) (1)đúng
_a b a-b > 0, $a^{n-1} - b^{n-1} \leq 0$(do n-1 lẻ) (1)đúng
Một số bài toán quen thuộc khác cũng có thể đc tổng quát hóa
$* a^{n} + b^{n} + c^{n} \geq a^{n-1} \sqrt[1]{bc} +b^{n-1} \sqrt[1]{ca}+c^{n-1} \sqrt[1]{ab}$
* $\dfrac{1}{ a^{n} } + \dfrac{1}{ b^{n} } \geq 2( { \dfrac{1}{ \sqrt[1]{xy} } }^{n} \geq \dfrac{ 2^{n+1} }{ {x+y}^{n} } $ (tổng quát của bài $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y}$ )
các bạn còn tìm thấy bài toán tổng quát nào xin pót lên để mọi người cùng học hỏi(nhớ kèm theo cách CM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 20-06-2009 - 17:17

[cvp]

Mình xin đóng góp 1 tổng quát rất tâm đắc:
$\sqrt {\dfrac{{x^2 + 1}}{2}} + \sqrt x \le x + 1$
Cm điều này rất đơn giản, bp và biến đổi ta đc:
$(\sqrt x - 1)^4 \ge 0$ điều này hiển nhiên đúng mà!Đẳng thức khi x=1:D
Ứng dụng bt trên ta có bt về hệ pt sau(không hề dễ nếu ta ko bít bt tổng quát trên):
Giải hệ pt trên tập số thực dương:
$\left\{ \begin{array}{l}
xyz = 1 \\
\sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {y^2 + 1} + \sqrt {z^2 + 1} = \sqrt 2 \left( {x + y + z} \right) \\
\end{array} \right.$
lời giải dành cho các bạn(chỉ cần dùng bt trên là xong). Nghiệm duy nhất x=y=z=1!
Tổng quát bt trên tương tự cho
$a_1 ,a_2 ,...,a_n $ có tích bằng 1.Khá hay đó!
BT tổng quát trên còn nhiều ứng dụng mong các bạn đóng góp.Mong rằng đây là 1 bt hữu ích cho các bạn đb là các bạn thi HSG.
Chúc các bạn thành công!

[nguyen_ct]

$ \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {y^2 + 1} + \sqrt {z^2 + 1} = \sqrt {2}(x + y + z) $

bài hệ này hình như chỉ cần dùng đến pt này thui kok cần $x,y,z>0$

[cvp]

bài hệ này hình như chỉ cần dùng đến pt này thui kok cần $x,y,z>0$

sai rùi bạn ơi x,y,z<0 thì thế nào????
bài toán bắt buộc fai có x,y,z thực dương

[nguyen_ct]

sai rùi bạn ơi x,y,z<0 thì thế nào????
bài toán bắt buộc fai có x,y,z thực dương

chắc chưa vậy $x,y,z<0$ pt vô no

[cvp]

chắc chưa vậy $x,y,z<0$ pt vô no

hehe nhầm lẫn lớn rùi bạn!
Nếu chỉ 1,2 số dương thì thế nào!
Trước hết xin khẳng định bt tôi nói trên (bt tổng quát ý)có bđt khi x≥0

BAN DA HIEU CHUA

[nguyen_ct]

hehe nhầm lẫn lớn rùi bạn!
Nếu chỉ 1,2 số dương thì thế nào!
Trước hết xin khẳng định bt tôi nói trên (bt tổng quát ý)có bđt khi x≥0

BAN DA HIEU CHUA

đây nhé ($x,y,z$ là số thực)
ta có:
$ \sqrt{x^2+1} \geq /x/\sqrt{2} \geq x\sqrt{2} $
cộng 2 bdt tương tự vào ta có $ VT \geq VP$
dấu bằng xảy ra khi ... :

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen_ct: 20-06-2009 - 06:41

[cvp]

đây nhé ($x,y,z$ là số thực)
ta có:
$ \sqrt{x^2+1} \geq /x/\sqrt{2} \geq x\sqrt{2} $
cộng 2 bdt tương tự vào ta có $ VT \geq VP$
dấu bằng xảy ra khi ... :

Xin lỗi bạn xem lại dùm mình: $\sqrt {x^2 + 1} \ge \sqrt 2 \left| x \right|???$
có lẽ bạn đã nhầm : chỉ có $\sqrt {x^2 + 1} \ge \sqrt {2x} $ mà thôi!!
Hơn nửa bài toán của mình đưa ra mục đích là cm VT≤VP cơ mà!

[Toanlc_gift]

Xin lỗi bạn xem lại dùm mình: $\sqrt {x^2 + 1} \ge \sqrt 2 \left| x \right|???$
có lẽ bạn đã nhầm : chỉ có $\sqrt {x^2 + 1} \ge \sqrt {2x} $ mà thôi!!
Hơn nửa bài toán của mình đưa ra mục đích là cm VT≤VP cơ mà!

Đúng là ông Nguyen_ct lú lẫn rồi
nhưng mà cvp cũng sai kìa:
$\sqrt {{x^2} + 1} \ge \sqrt {2\left| x \right|}$ chứ không phải như trên

[cvp]

Đúng là ông Nguyen_ct lú lẫn rồi
nhưng mà cvp cũng sai kìa:
$\sqrt {{x^2} + 1} \ge \sqrt {2\left| x \right|}$ chứ không phải như trên

hì ừ đúng mình ẩu wa wen mất!

[nguyen_ct]

à ừ quên trong quá trình giải có chút sơ xuất

[Hero Math]

Đây cũng là 1 bài toán tổng quát rất nhiều ứng dụng: Bunhia:
$2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2} \Rightarrow \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{2}$
Tổng quát nhỏ : $\dfrac{a^{2m}+b^{2m}}{2}\geq(\dfrac{a+b}{2})^{2m}$ khi đó chỉ cần ĐK : m nguyên dương còn a,b bât kì
Tổng quát nhỏ nữa : $\dfrac{a^{2m+1}+b^{2m+1}}{2}\geq(\dfrac{a+b}{2})^{2m+1}$ tức là số mũ là lẻ thì cần thêm ĐK :$a+b\geq 0$
Như vậy Tổng quát lại ta có BĐT quen thuộc :$\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{n}$ với$ a+b\geq 0 $và $n \in N*$
Ứng Dụng :
1, CMR: $(a+b-c)^{n}+(b+c-a)^{n}+(c+a-b)^{n}\geq a^{n}+b^{n}+c^{n}$
Giải bài này thì ta chỉ cần đặt $a+b-c=x, b+c-a=y, c+a-b=z$ r?#8220;i áp dụng trực tiếp BĐT tổng quát lad xong
2, Cho a,b,c dương và n nguyên dưiơng .CMR:
$(\dfrac{a}{b+c})^{n}+(\dfrac{b}{a+c})^{n}+(\dfrac{c}{b+a})^{n}\geq \dfrac{3}{2^{n}}$
3,Giải PT: $ \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3} + \sqrt[2005]{-x^{3}-3x+5} = 2$
Ngoài ra BĐT này còn tổng quát hơn nữa cho n số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 04-07-2009 - 19:08

[huaminhtuan]

Đây cũng là 1 bài toán tổng quát rất nhiều ứng dụng: Bunhia:
$2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2} \Rightarrow \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{2}$
Tổng quát nhỏ : $\dfrac{a^{2m}+b^{2m}}{2}\geq(\dfrac{a+b}{2})^{2m}$ khi đó chỉ cần ĐK : m nguyên dương còn a,b bât kì
Tổng quát nhỏ nữa : $\dfrac{a^{2m+1}+b^{2m+1}}{2}\geq(\dfrac{a+b}{2})^{2m+1}$ tức là số mũ là lẻ thì cần thêm ĐK :$a+b\geq 0$
Như vậy Tổng quát lại ta có BĐT quen thuộc :$\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{n}$ với$ a+b\geq 0 $và $n \in N*$
Ứng Dụng :
1, CMR: $(a+b-c)^{n}+(b+c-a)^{n}+(c+a-b)^{n}\geq a^{n}+b^{n}+c^{n}$
Giải bài này thì ta chỉ cần đặt $a+b-c=x, b+c-a=y, c+a-b=z$ rồi áp dụng trực tiếp BĐT tổng quát lad xong
2, Cho a,b,c dương và n nguyên dưiơng .CMR:
$(\dfrac{a}{b+c})^{n}+(\dfrac{b}{a+c})^{n}+(\dfrac{c}{b+a})^{n}\geq \dfrac{3}{2^{n}}$
3,Giải PT: $ \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3} + \sqrt[2005]{-x^{3}-3x+5} = 2$
Ngoài ra BĐT này còn tổng quát hơn nữa cho n số.

tui cũng xin có 1 bài toán cụ thể và chặt hơn như sau
$ a^{4n} + b^{4n} :frac{ ( a^{2n}+ b^{2n} ) ^{2} }{2} a^{3n} b^{n} + a^{n} b^{3n} $
CM:
$( a^{2n}-b^{2n} ) ^{2} 0 2(a^{4n} + b^{4n}) ( a^{2n}+ b^{2n} ) ^{2} a^{4n} + b^{4n} :frac{ ( a^{2n}+ b^{2n} ) ^{2} }{2}$
$a^{2n}+ b^{2n} 2 a^{n} b^{n} :frac{ ( a^{2n}+ b^{2n} ) ^{2} }{2} a^{n} b^{n}
( a^{2n}+ b^{2n} ) :frac{ ( a^{2n}+ b^{2n} ) ^{2} }{2} a^{3n} b^{n} + a^{n} b^{3n}$