cm $ \dfrac{1}{a+2b+c}$ + $ \dfrac{1}{b+2c+a}$+$ \dfrac{1}{c+2a+b}$ 
$ \dfrac{1}{a+3b}$+$ \dfrac{1}{b+3c}$+$ \dfrac{1}{c+3c}$với mọi a,b,c>0
2/ cho $ \dfrac{a}{a+b}$ +$ \dfrac{b}{b+c}$+$ \dfrac{c}{c+d}$+$ \dfrac{d}{d+a}$=2. cm abcd là một số chính phương.
1, Dùng các BĐT : $\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+2c+a}\geq \dfrac{2}{a+2b+c}$
$\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+2a+b}\geq \dfrac{2}{b+2c+a}$
$\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{a+2b+c}\geq \dfrac{2}{c+2a+b}$
Cộng tất cả ta có ĐPCM. Dấu = xảy ra khi a=b=c
2,Đây là 1 phần nhỏ trong đề thì của Bungari thì phải, lâu lâu ko nhớ
( a,b,c,d nguyên dương và khác nhau chứ bạn ?)
$(\dfrac{a}{a+b}-1)+(\dfrac{c}{c+d}-1)+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{d}{d+a}=0$
$ \Leftrightarrow b(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+b})-d(\dfrac{1}{c+d}-\dfrac{1}{a+d)}=0$
$ \Leftrightarrow (a-c)(\dfrac{b}{(b+c)(a+b)}-\dfrac{d}{(a+d)(c+d)})=0$
vì a khác c nên $\dfrac{b}{(b+c)(a+b)}-\dfrac{d}{(a+d)(c+d)}=0$
biến đổi ra thì ac=bd nên $abcd=(ac)^{2}$
Bài này có thể thay đổi giả thiết thành $\dfrac{a}{a+b}$ +$ \dfrac{b}{b+c}$+$ \dfrac{c}{c+d}$+$ \dfrac{d}{d+a}$ là 1 số nguyên với a,b,c,d nguyên dương và đôi một khjác nhau thì vẫn đúng
vì có thể CM: $1< \dfrac{a}{a+b}$ +$ \dfrac{b}{b+c}$+$ \dfrac{c}{c+d}$+$ \dfrac{d}{d+a} <3$ rồi suy ra $\dfrac{a}{a+b}$ +$ \dfrac{b}{b+c}$+$ \dfrac{c}{c+d}$+$ \dfrac{d}{d+a}=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 20-06-2009 - 15:59
