Chủ đề này có 8 trả lời

[cvp]

Bài toán: Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=3.Chứng minh rằng:
$a^2 + b^2 + c^2 \le \dfrac{1}{{a^2 }} + \dfrac{1}{{b^2 }} + \dfrac{1}{{c^2 }}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 22-06-2009 - 19:03

[huyetdao_tama]

$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2+a^2+c^2+b^2c^2}{a^2b^2c^2} \geq a^2+b^2+c^2$

Ta có:

$(ab+bc+ac)^2 \geq 3abc(a+b+c)=9abc $

$\sum a^2b^2 \geq 3abc=(a+b+c)abc $

$ \Rightarrow \dfrac{a^2+b^2+a^2+c^2+b^2c^2}{a^2b^2c^2} \geq \dfrac{27}{(ab+ac+bc)^2} $

$ \Rightarrow 27 \geq (a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)^2 $

Điều này hiển nhiên đúng vì:

$(a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)^2 =(a^2+b^2+c^2)(ab+ac+bc)(ab+ac+bc) \leq \dfrac{(a+b+c)^6}{27}= 27$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyetdao_tama: 22-06-2009 - 20:17

[cvp]

Ủa đề mình có sai đâu!
Có một số lỗi trong lời giải của bạn đấy.Bạn xem lại và sửa cho hoàn chỉnh nha!
Hướng đi của bạn cũng khá hay,có vẻ lời giải của chúng ta cũng tương đối giống:
My solution:
Trước hết
$\dfrac{1}{{a^2 }} + \dfrac{1}{{b^2 }} + \dfrac{1}{{c^2 }} \ge \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}} = \dfrac{3}{{abc}}$
Ta sẽ cm:$\begin{array}{l}
\dfrac{3}{{abc}} \ge a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2(ab + bc + ca) \\
\Leftrightarrow \dfrac{3}{{abc}} + \left( {ab + bc + ca} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) \ge 9 \\
\end{array}$
Đến đây là xong bởi theo bđt Cô-si:$\dfrac{3}{{abc}} + \left( {ab + bc + ca} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{3\left( {ab + bc + ca} \right)^2 }}{{abc}}}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{3.3abc\left( {a + b + c} \right)}}{{abc}}}} = 9$.
Dấu = khi a=b=c=1!
p/s:đấy là lời giải cụ thể của mình!

[tuan101293]

thử bài này nha
(arqady)
a,b,c>0
CMR
$\sum \dfrac{a^3}{2b^3-abc+2c^3}\ge 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 23-06-2009 - 09:53

[cvp]

thử bài này nha
(arqady)
a,b,c>0
CMR
$\sum \dfrac{a^3}{2b^3-abc+2c^3}\ge 1$

Vâng em thử vậy.
Chuẩn hóa abc=1.Típ theo đặt x=a^3;y=b^3;z=c^3
Ta có:
$VT = \dfrac{x}{{2y + 2z - 1}} + \dfrac{y}{{2z + 2x - 1}} + \dfrac{z}{{2x + 2y - 1}} \ge \dfrac{{\left( {x + y + z} \right)^2 }}{{4\left( {xy + yz + zx} \right) - 3}}$
ta cm $\begin{array}{l}
\dfrac{{\left( {x + y + z} \right)^2 }}{{4\left( {xy + yz + zx} \right) - 3}} \ge 1 \\
\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z \ge 2\left( {xy + yz + zx} \right) \\
\end{array}$
để ý xyz=1 chứng minh bằng dồn biến BĐT cuối
Từ đó => đpcm
Dấu = khi a=b=c

[huyetdao_tama]

Cái khúc cuối mà cũng dùng dồn biến hả mà cũng dồn biến hả.

Shur có:$x^2+y^2+z^2+ \dfrac{9xyz}{x+y+z} \geq 2(xy+yz+xz)$

$\Rightarrow x+y+z \geq \dfrac{9xyz}{x+y+z} $

$\Leftrightarrow (x+y+z)^2 \geq 9xyz=9 $(wá đúng Với xyz=1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyetdao_tama: 23-06-2009 - 19:19

[cvp]

Cái khúc cuối mà cũng dùng dồn biến hả mà cũng dồn biến hả.

Shur có:$x^2+y^2+z^2+ \dfrac{9xyz}{x+y+z} \geq 2(xy+yz+xz)$

$\Rightarrow x+y+z \geq \dfrac{9xyz}{x+y+z} $

$\Leftrightarrow (x+y+z)^2 \geq 9xyz=9 $(wá đúng Với xyz=1)

ok cách schur đc lắm bạn!

[Toanlc_gift]

Vâng em thử vậy.
Chuẩn hóa abc=1.Típ theo đặt x=a^3;y=b^3;z=c^3
Ta có:
$VT = \dfrac{x}{{2y + 2z - 1}} + \dfrac{y}{{2z + 2x - 1}} + \dfrac{z}{{2x + 2y - 1}} \ge \dfrac{{\left( {x + y + z} \right)^2 }}{{4\left( {xy + yz + zx} \right) - 3}}$
ta cm $\begin{array}{l}
\dfrac{{\left( {x + y + z} \right)^2 }}{{4\left( {xy + yz + zx} \right) - 3}} \ge 1 \\
\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z \ge 2\left( {xy + yz + zx} \right) \\
\end{array}$
để ý xyz=1 chứng minh bằng dồn biến BĐT cuối
Từ đó => đpcm
Dấu = khi a=b=c

chứng minh vậy không hay,phải như vầy:
$VT \ge \dfrac{{{{({a^3} + {b^3} + {c^3})}^2}}}{{4\sum {{a^3}{b^3} - 3abc(a^3+b^3+c^3)} }}$
chỉ cần chứng minh:
$VT \ge \sum {{a^6} + 3abc({a^3} + {b^3} + {c^3}} ) \ge 2\sum {{a^3}{b^3}}$ (đúng theo Schur và AM-GM)

[cvp]

chứng minh vậy không hay,phải như vầy:
$VT \ge \dfrac{{{{({a^3} + {b^3} + {c^3})}^2}}}{{4\sum {{a^3}{b^3} - 3abc(a^3+b^3+c^3)} }}$
chỉ cần chứng minh:
$VT \ge \sum {{a^6} + 3abc({a^3} + {b^3} + {c^3}} ) \ge 2\sum {{a^3}{b^3}}$ (đúng theo Schur và AM-GM)

Hì bác nhìn kĩ mà xem
hai cách ko khác nhau 1 chút nào # ở em đặt cho nó gọn còn bác thì ko thui
Các bước giống nhau bác ạ,cái đầu svac-xo và cái cuối schur như của huyetdao tama mà!