Chủ đề này có 2 trả lời

[cvp]

Bài toán:Cho $a;b_1,b_2,b_3,...b_n,c_1,c_2,c_3,...,c_n$ là các số thực sao cho:
$x^{2n}+ax^{2n-1}+ax^{2n-2}+...an+1=(x^2+b_1x+c_1)(x^2+b_2x+c_2)...(x^2+b_nx+c_n)$
Chứng minh rằng:$c_1=c_2=c_3=...=c_n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 24-06-2009 - 12:15

[cvp]

Hic các bạn giúp mình bài nè đi!Đang cần mà ko hiểu nên làm thế nào
ai làm đc post lời giải cho mình nha!

[phong than]

Đầu tiên dễ có phương trình đã cho có nhiều nhất 2 nghiệm thực, chú ý rằng:
$x^{2n}+ax^{2n-1}+ax^{2n-2}+ . . . +ax+1=\dfrac{x^{2n+1}+(a-1)x^{2n}-(a-1)x-1}{x-1}$
Vì vậy bài toán tương đương với việc chứng minh $x^{2n+1}+(a-1) x^{2n}-(a-1)x-1$ có các nghiệm (kể cả phức) nằm trên mặt phẳng đơn vị trong mặt phẳng phức.
Thật vậy giả sử $x$ là một nghịêm của phương trình trên. Ta có:
$|x|^{2n}.|x+b|=|bx+1|$, $(b=a-1)$. Từ đây ta có thể cho rằng $b\geq0$, vì ta có:
$|(-x)|^{2n}.|(-x)+(-b)|=|(-b).(-x)+1|$ va $|x|=|-x|$.
Với điều kiện $b\geq0$, ta có:
$|x|^{2n-1}.|x+b|=|\dfrac{1}{x}+b|$, từ đây vì $b\geq0$ nên dễ thấy
$|x+b| \geq |\dfrac{1}{x}+b| \Leftrightarrow |x| \geq= 1$. Vì vậy ta suy ra $|x|=1$, và đây là điều phải chứng minh.
Không biết giải thế đúng không?
Đúng thì thank cho mình cái.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 02-07-2009 - 16:17