Đến nội dung

Hình ảnh

thử sức

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
Tìm số nguyên tố p lẻ thỏa mãn:
$1^{p - 1} + 2^{p - 1} + 3^{p - 1} + ... + 2004^{p - 1} \vdots p$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 25-06-2009 - 18:06

Hình đã gửi


#2
pa ra bol

pa ra bol

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
*Nếu p>2004 :Rightarrow (p,i)=1 với mọi i=1,2,...,2004
Áp dụng định lí Fermat nhỏ ta có :
S= 1^(p-1)+2^(p-1)+...+2004^(p-1) :equiv 2004(mod p)
Suy ra S không chia hết cho p
*Nếu p<2004:
Đặt 2004=pk+r
Áp dụng định lí Fermat nhỏ ta suy ra
S :equiv k(p-1)+r (mod p)
Do đó S :in p :Leftrightarrow (r-k) :vdots p
-r :pe k : vif 0<r<p :Rightarrow r=p
Neen 2004=(p+1)r
Vì p lẻ và p nguyên tố nên p=2003(thỏa mãn)
-r<k :Rightarrow k=pq+r
Suy ra:2004=(pq+r)p+r=p^2+pr+r :pe p^2+p+1
Suy ra p :pe 43
Xét các giá trị của p ta thấy chỉ co 17 thỏa mãn
Vậy p=17 và p=2003

#3
cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết

*Nếu p>2004 :Rightarrow (p,i)=1 với mọi i=1,2,...,2004
Áp dụng định lí Fermat nhỏ ta có :
S= 1^(p-1)+2^(p-1)+...+2004^(p-1) :equiv 2004(mod p)
Suy ra S không chia hết cho p
*Nếu p<2004:
Đặt 2004=pk+r
Áp dụng định lí Fermat nhỏ ta suy ra
S :equiv k(p-1)+r (mod p)
Do đó S :in p :Rightarrow (r-k) :Leftrightarrow p
-r :pe k : vif 0<r<p :Rightarrow r=p
Neen 2004=(p+1)r
Vì p lẻ và p nguyên tố nên p=2003(thỏa mãn)
-r<k :equiv k=pq+r
Suy ra:2004=(pq+r)p+r=p^2+pr+r :pe p^2+p+1
Suy ra p :vdots 43
Xét các giá trị của p ta thấy chỉ co 17 thỏa mãn
Vậy p=17 và p=2003

ừ bạn làm đúng rùi đấy! :pe

Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh