Chủ đề này có 5 trả lời

[frazier]

1) cho a, b > 0. Chứng minh rằng\
$ (a + \dfrac{1}{b})^{x} + (b + \dfrac{1}{a})^{x} \geq 2 ( \dfrac{a + b}{2} + \dfrac{2}{a + b} )^{x} $

2) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng\
$ (a + \dfrac{1}{b} )^{2} + (b + \dfrac{1}{c} )^{2} + (c + \dfrac{1}{a} )^{2} \geq \dfrac{100}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi frazier: 28-06-2009 - 11:23

[Hero Math]

1) cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
(a + ;\dfrac{1}{b})^{2} + (b + :frac{1}{a})^{x} 2 (( :frac{a + b}{2} + :frac{2}{a + b} )^{x})

2) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
(a + :frac{1}{b} )^{2} + (b + :frac{1}{c} )^{2} + (c + :frac{1}{a} )^{2} :frac{100}{3}

Đề là mũ x hay mũ 2 vậy, bạn đánh lung tung quá, ko hiểu gì cả

[Hero Math]

2) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
$(a + \dfrac{1}{b} )^{2} + (b + \dfrac{1}{c} )^{2} + (c + \dfrac{1}{a} )^{2} \geq \dfrac{100}{3}$

Bài 1đề chưa rõ ràng vì chưa biết là mũ x hay mũ 2 nên mình cứ làm bài 2 trước, khi nào bạnk sửa đề bài 1 thì làm sau:
Bài 2 : Áp dụng BĐT:$ a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{3}$ Ta có:
$VT \geq \dfrac{(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^{2}}{3}\geq \dfrac{(1+\dfrac{9}{a+b+c})^{2}}{3}=\dfrac{10^{2}}{3}=\dfrac{100}{3}$

[frazier]

sorry......mình đánh nhầm bài 1, thay mũ x là mũ 2 nhé các bạn giải tiếp đi....

[Hero Math]

1) cho a, b > 0. Chứng minh rằng\
$ (a + \dfrac{1}{b})^{x} + (b + \dfrac{1}{a})^{x} \geq 2 ( \dfrac{a + b}{2} + \dfrac{2}{a + b} )^{x} $

Cứ để mũ x đi BĐT vẫn đúng ,cho thêm ĐK của mũ $x\in N* $ vào là được
Áp dụng BĐT : $\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{n} $và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfrac{4}{x+y} $. Ta có :
$VT=(a + \dfrac{1}{b})^{x} + (b + \dfrac{1}{a})^{x} \geq 2(\dfrac{a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{2})^{x} \geq 2(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{4}{2(a+b)}})^{x}$$ = 2 ( \dfrac{a + b}{2} + \dfrac{2}{a + b} )^{x} =VP$.
(ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Math: 28-06-2009 - 16:12

[cvp]

sorry......mình đánh nhầm bài 1, thay mũ x là mũ 2 nhé các bạn giải tiếp đi....

lời giải:
Sử dụng $X^2+Y^2\ge\dfrac{(X+Y)^2}{2}$
Ta có: $(a+\dfrac{1}{b})^2+(b+\dfrac{1}{a})^2\ge\dfrac{(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})^2}{2}$
Đến đây sử dụng típ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$
Từ 2 điều trên => đpcm