Chủ đề này có 1205 trả lời

[manhhung2013]

Chỗ $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$ hình như ngược dấu thì phải!

$3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ bạn nhé!!!

[manhhung2013]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.

[PlanBbyFESN]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.

a+b+c+abc=4 $\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0$           

                      $\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca+1-abc$

Nếu: 1-abc$\geq 0$ $\Rightarrow$ đpcm

Nếu: 1-abc$\leq 0$ $\Rightarrow abc\geq 1\Rightarrow a+b+c\leq 3$

mà ab+bc+ca$\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$ $\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c).3}{3}= a+b+c$   (đpcm)

Baaif toán c/m xong. Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 25-12-2015 - 17:41

[manhhung2013]

a+b+c+abc=4 $\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0$            (vì không thể đồng thời a,b,c>1 hoặc a,b,c<1)

                      $\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca+1-abc$

Nếu: 1-abc$\geq 0$ $\Rightarrow$ đpcm

Nếu: 1-abc$\leq 0$ $\Rightarrow abc\geq 1\Rightarrow a+b+c\leq 3$

mà ab+bc+ca$\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$ $\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c).3}{3}= a+b+c$   (đpcm)

Baaif toán c/m xong. Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

thế nếu 2 số trong 3 số >1, số còn lại <1 thì sao chẳng hạn a=b=$\frac{4}{3}$, c=$\frac{12}{25}$. Tích trên sẽ <0

[PlanBbyFESN]

thế nếu 2 số trong 3 số >1, số còn lại <1 thì sao chẳng hạn a=b=$\frac{4}{3}$, c=$\frac{12}{25}$. Tích trên sẽ <0

Bổ sung: Giả sử a,b> và c>1

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\geq ab+1$

và $\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc+c\geq ac+bc$

$\Rightarrow a+b+c+abc\geq ab+bc+ca+1$

$abc\leq 1$ thì có đpcm còn $abc\geq 1$ thì dùng Cauchy như trên.

Bài toán chứng minh xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 31-12-2015 - 18:55

[Uchiha sisui]

ANH NHÂME SAI ĐIỂM RƠI RỒI ANH ƠI !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

C2 :
$2(\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{1}{2ab} + \dfrac{1}{2bc} + \dfrac{1}{2ac})$ $2(\dfrac{1,5 + 3}{(a + b + c)^2}) = 40,5$

Mặt khác $\dfrac{\dfrac{7}{2}}{a^2 + b^2 + c^2}$ $\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{1}{3}} = 10,5$

Trừ 2 vế OK

Điểm rơi sai bét kìa 

[Tran Thanh Truong]

Giúp mình bài này nữa luôn nha:

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$M=\frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+\frac{b^{5}}{c^{3}+a^{2}}+\frac{c^{5}}{a^{3}+b^{2}}+a^{4}+b^{4}+c^{4}$

[superpower]

1, Cho 3 số thực a,b,c đều không nhỏ hơn $-\frac{3}{4}$, thỏa mãn $a+b+c= 1$ CMR:

                           $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

Mình sẽ dùng phương pháp tiếp tuyến

Ta sẽ chứng minh 

$\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{36a+3}{50} <=> 36(x-\frac{1}{3})^2 (x+\frac{3}{4} ) \geq 0 $ (Đúng)

Cộng theo vế, ta có điều phải chứng minh

Thực tế, ở bài toán này, có thể mở rộng ra $a,b,c$ là các số thực 

[manhhung2013]

Bổ sung: Giả sử a,b> và c>1

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\geq ab+1$

và $\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc+c\geq ac+bc$

$\Rightarrow a+b+c+abc\geq ab+bc+ca+1$

$abc\leq 1$ thì có đpcm còn $abc\geq 1$ thì dùng Cauchy như trên.

Bài toán chứng minh xong.

Còn gì bắt bẻ nữa không bồ, không thì like cho bố đi.>>> bực mình đang chơi hay lại phải tắt máy giải th này @~

p/s: hướng đầu ko cần xét bổ sung này cũng đúng mà lâu quên cách đánh giá r @ thủ làm đi (t nhác)

quên like, sorry, mà mình mới học cái loại đánh giá với cả BĐT schur nên chưa quen, có những phương pháp nào trong đánh giá nhỉ?? 

[manhhung2013]

Bổ sung: Giả sử a,b> và c>1

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\geq ab+1$

và $\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc+c\geq ac+bc$

$\Rightarrow a+b+c+abc\geq ab+bc+ca+1$

$abc\leq 1$ thì có đpcm còn $abc\geq 1$ thì dùng Cauchy như trên.

Bài toán chứng minh xong.

Còn gì bắt bẻ nữa không bồ, không thì like cho bố đi.>>> bực mình đang chơi hay lại phải tắt máy giải th này @~

p/s: hướng đầu ko cần xét bổ sung này cũng đúng mà lâu quên cách đánh giá r @ thủ làm đi (t nhác)

sai rồi: (a-1)(b-1)$\geq 0$$=>ab+1\geq a+b$

[kuhaza]

biết xyzt=1 và x,y,z,t>0. cm: $\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3}$

[Element hero Neos]

Bài này cực dễ luôn

Cho $x,y,z$ dương sao cho $xyz=1$

Tìm max $A=\sum_{cyc}\frac{xy}{x^{5}+y^{5}+xy}$

[kuhaza]

Bài này cực dễ luôn

Cho $x,y,z$ dương sao cho $xyz=1$

Tìm max $A=\sum_{cyc}\frac{xy}{x^{5}+y^{5}+xy}$

mk chưa học về $\sum$ nha bạn! bạn ghi rõ dc ko

[Element hero Neos]

mk chưa học về $\sum$ nha bạn! bạn ghi rõ dc ko

Mình cũng đã học đâu,đọc tài liệu thì biết thôi!

Cho $x,y,z$ dương thoả mãn $xyz=1$

Tìm max $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}$

[tpdtthltvp]

biết xyzt=1 và x,y,z,t>0. cm: $\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3}$

Áp dụng BĐT schwarz, Cauchy có:

$\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}= \frac{\frac{1}{x^2}}{x(zy+zt+yt)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y(xz+zt+xt)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z(xy+yt+xt)}+\frac{\frac{1}{t^2}}{t(xy+yz+xz)}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{(xyz+xzt+xyt+yzt)^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{xyz+xzt+xyt+yzt}{3}\geq \frac{4\sqrt[4]{(xyzt)^3}}{3}=\frac{4}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-12-2015 - 20:56

[Element hero Neos]

Áp dụng BĐT schwarz, Cauchy có:

$\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}= \frac{\frac{1}{x^2}}{x(zy+zt+yt)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y(xz+zt+xt)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z(xy+yt+xt)}+\frac{\frac{1}{t^2}}{t(xy+yz+xz)}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{(xyz+xzt+xyt+yzt)^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{xyz+xzt+xyt+yzt}{3}\geq$ $\frac{4\sqrt[3]{(xyzt)^3}}{3}$ $=\frac{4}{3}$

Chỗ màu đỏ đã sai, phải là căn bậc $4$ mới đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 28-12-2015 - 20:56

[kuhaza]

Bài 1: tìm min, max của:

A = $\frac{4x+3}{x^{2}+1}$

B = $\frac{7 - 4x}{x^{2} - 2x + 2}$

Bài 2: tìm m để pt ẩn x sau có nghiệm max, min

a) x⁴ + 2x² + 2mx + m² - 6m + 1 = 0

b) x⁴ + 2x² + 2mx + m² + 2m + 1 = 0

Bài 3: tìm (x;y) t/m:

a) $\sqrt{x-1} .y^{2} + \sqrt{x-1}= y$ sao cho x max

b) x(y² + 1) = 2y² - 2y sao cho x max

[tpdtthltvp]

Mình cũng đã học đâu,đọc tài liệu thì biết thôi!

Cho $x,y,z$ dương thoả mãn $xyz=1$

Tìm max $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}$

Ô! Bài này là đề thi GV giỏi trường em! Em làm thế này ko biết đúng không ?

Dễ chứng minh : $x^5+y^5\geq xy(x^3+y^3)$ và $x^3+y^3\geq xy(x+y)$

Áp dụng BĐT trên vào ta được:

$A\leq \sum \frac{ab}{ab(a^3+b^3)+ab}=\sum \frac{abc}{abc(a^3+b^3)+abc}= \sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+1}=\sum \frac{c}{abc(a+b)+c}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-12-2015 - 21:06

[kuhaza]

Mình cũng đã học đâu,đọc tài liệu thì biết thôi!

Cho $x,y,z$ dương thoả mãn $xyz=1$

Tìm max $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}$

vậy kí hiệu đó nghĩa là gì?

[Element hero Neos]

Ô! Bài này là đề thi GV giỏi trường em! Em làm thế này ko biết đúng ko?

Áp dụng BĐT $x^5+y^5\geq xy(x^3+y^3)$ và $x^3+y^3\geq xy(x+y)$ vào ta được:

$A\leq \sum \frac{ab}{ab(a^3+b^3)+ab}=\sum \frac{abc}{abc(a^3+b^3)+abc}= \sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+1}=\sum \frac{c}{abc(a+b)+c}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

Nó là bổ đề chứ không phải bđt và nó cần được chứng minh trước khi áp dụng