Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1215 trả lời

#1201 Bactholoc1

Bactholoc1

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Đã gửi 20-11-2018 - 21:53

$a,b,c \geq 0 ; ab+bc+ca+abc=4;CMR:\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b^2+8}+\sqrt{c^2+8}\leq a+b+c+6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bactholoc1: 20-11-2018 - 21:53


#1202 MaiTraqTonNu

MaiTraqTonNu

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:~Your Imagination~
  • Sở thích:Games And Maths <3

Đã gửi 26-11-2018 - 21:10

cac bac giup toi bai nay voi

cho a,b,c $\geq 1$. tim GTNN cua bieu thuc P =$\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1

bạn spam quá lúc thì LN lúc thì NN



#1203 bangvoip673

bangvoip673

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-01-2019 - 12:06


.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangvoip673: 12-01-2019 - 12:07


#1204 Giabao3101

Giabao3101

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 15-04-2019 - 15:23

Help me

cho hai số dương y, y tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S=(x+y)/cănx(2x+y) + căn y(2y+x)



#1205 Pham Thi Ha Thu

Pham Thi Ha Thu

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 29-04-2019 - 22:54

Cho các số x,y dương tm điều kiện : $\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right )\left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=2018$

Tìm min P=x+y



#1206 binhthanh

binhthanh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-05-2019 - 21:46

Giúp em bài này với huhu 

cho các số thực x ,y , z thỏa mãn

   x2+y2+z2=200

Tìm GTNN M= 2xy -yz -xz



#1207 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 02-11-2019 - 22:54


Nếu như em ko nhầm thìi
Giả sử $\dfrac{a}{a + b}$ image004.gif $\dfrac{b}{ b + c}$ geq.gif $\dfrac{c}{a + c}$
Áp dụng bdt chebyshev ta có

$(\dfrac{a}{b +c})^3 + (\dfrac{b}{b +c})^3 + (\dfrac{c}{a +c})^3$ geq.gif $\dfrac{1}{3}.(\dfrac{a}{b +c} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c}).[(\dfrac{a}{b +c})^2 + (\dfrac{b}{b + c})^2 + (\dfrac{c}{c +a})^2) ] $ geq.gif $ \dfrac{1}{2}[ (\dfrac{a}{a + b})^2 + (\dfrac{b}{b + c})^2 + (\dfrac{c}{a + c})^2 ] $ geq.gif $ \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.(\dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c})(\dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c}) $ geq.gif $\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}$ = $\dfrac{3}{8}$

$Because \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c}$ geq.gif $\dfrac{3}{2}$
Cái ni em ko chắc lắm ! Ai chứng minh hộ em cái BĐT phụ này với ạ ! Hình như bđt này sai thì phỉa ! Lỡ có sai anh chị thông cảm nhé !

MÌnh chỉ biết có BĐT như sau:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

thôi. bạn nào CM dc BĐT trên thì làm giúp mình với

Thanks!


“Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.” -Albert Einstein - Phát biểu tại Viện Khoa học Prussian, 01/1921

(Đọc thêm tại: https://www.tudienda...n/dn/itemid/574 © TuDienDanhNgon.vn)

:icon6: LIKE giúp tôi nhá!!!  :icon6: 


#1208 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 02-11-2019 - 23:11

MÌnh chỉ biết có BĐT như sau:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

thôi. bạn nào CM dc BĐT trên thì làm giúp mình với

Thanks!

Thật ra BĐT $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq\frac{3}{2}$ đó sai đấy bạn ạ


“Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.” -Albert Einstein - Phát biểu tại Viện Khoa học Prussian, 01/1921

(Đọc thêm tại: https://www.tudienda...n/dn/itemid/574 © TuDienDanhNgon.vn)

:icon6: LIKE giúp tôi nhá!!!  :icon6: 


#1209 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 03-11-2019 - 12:51

Mình mở ra một topic mới để cùng mọi người trao đôit kinh nghiệm về BĐT. Lần này các bài toán dành cho THCS, 1 phần cũng dành cho các anh chị THPT. Đầu tiên xin nói lại về các BĐT để sử dụng truong topic này .
1. Bất đẳng thức Cô si (AM-GM): Với m số không âm $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ ta có:
$a_{1}+a_{2}+...+a_{m}\geq m\sqrt[m]{a_{1}a_{2}...a_{m}}$. Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}.$
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy - Schwazs): với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{m}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{m}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^{2}$
Đẳng thức xảy ra khi : $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ bất kì và $b_{1},b_{2},...,b_{m}\geq 0$ ta có :
$\dfrac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+...+\dfrac{a_{m}^{2}}{b_{m}}\geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}.$Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
4.Bất đẳng thức Mincopxki (Mincowski): Với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{m})^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi :$\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
5. Bất đẳng thức Holder: Xin chỉ nêu trường hợp dùng nhiều nhất , ko nêu dạng tổng quát:
Cho $a,b,c,x,y,z,m,n,p>0$ thì BĐT sau đúng : $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}.$
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
6. Bất đẳng thức Schur: Dạng tổng quát:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $t > 0$ ta có : $a^{t}(a-b)(a-c)+b^{t}(b-c)(b-a)+c^{t}(c-a)(c-b)\geq 0.$
Đẳng thức xảy ra khi : $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: $t=1$ và $t=2$
$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$ .
Trong trường hợp $t=1$ thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a).$
$4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{3}+9abc.$
Hệ quả rất thông dụng: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc.$
Với $t=2$ ta có dạng quen thuộc hơn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)$.
7. Bất đẳng thức Trêbưsepimage002.gif Chebyshev): Với $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{m}$ thì:
$m(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{n}+...+a_{m}b_{m})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{m})(b_{1}+b_{2}+...+b_{m}).$
Đẳng thức xảy ra khi : $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}$ và $ b_{1}=b_{2}=...=b_{m}.$
Nếu $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $ b_{1}\leq b_{2}\leq ...\leq b_{m}$ thì BĐT trên đổi chiều.
8. Bất đẳng thức Nét bít (Nesbitt): Mình chỉ nêu ra 2TH hay dùng nhất đối với THCS :
BĐT Nesbitt 3 biến : Với $ a,b,c >0$ thì $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}.$
BĐT Nesbitt 4 biến : với $a,b,c,d >0$ thì :$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a} +\dfrac{d}{a+b}\geq 2.$
ĐẲng thức xẩy ra khi các biến bằng nhau.
9. Các hằng bất đẳng thức thường dùng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$ và $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac).$
$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+...+\dfrac{1}{a_{m}}\geq \dfrac{m^{2}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}$ ( với $a_{i}>0$)
$\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{n}$ (Với $a+b\geq 0$ và $n\in N*$)
$a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}.b^{n}+a^{n}.b^{m}.$
Còn rất nhiều BĐT nữa nhưng ở mức độ THCS mình chỉ nêu ra như vậy thôi.
P\s: Các anh chị THPT không giải bài của THCS, mà các anh chị sẽ có bài riêng dành cho mình để làm. Mong các bạn hưởng ứng. Cảm ơn.
Hero Math _ Hiếu.

Anh ơi BĐT Schwarz cho mọi số thực KO ÂM có dấu = XR $\Leftrightarrow$ $$\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$$


“Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.” -Albert Einstein - Phát biểu tại Viện Khoa học Prussian, 01/1921

(Đọc thêm tại: https://www.tudienda...n/dn/itemid/574 © TuDienDanhNgon.vn)

:icon6: LIKE giúp tôi nhá!!!  :icon6: 


#1210 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 03-11-2019 - 12:54

Anh ơi BĐT Schwarz cho mọi số thực KO ÂM có dấu = XR $\Leftrightarrow$ $$\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$$Maø

Mà nếu b=0 thì dấu = XR khi nào ạ?


“Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.” -Albert Einstein - Phát biểu tại Viện Khoa học Prussian, 01/1921

(Đọc thêm tại: https://www.tudienda...n/dn/itemid/574 © TuDienDanhNgon.vn)

:icon6: LIKE giúp tôi nhá!!!  :icon6: 


#1211 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 329 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 03-11-2019 - 23:24

Mà nếu b=0 thì dấu = XR khi nào ạ?

Quy ước mẫu bằng không thì tử số bằng không...


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#1212 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 03-11-2019 - 23:48

Quy ước mẫu bằng không thì tử số bằng không...

Em cảm ơn anh nhiều! :D  :like  :like  :like  :like  :like


“Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.” -Albert Einstein - Phát biểu tại Viện Khoa học Prussian, 01/1921

(Đọc thêm tại: https://www.tudienda...n/dn/itemid/574 © TuDienDanhNgon.vn)

:icon6: LIKE giúp tôi nhá!!!  :icon6: 


#1213 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 10-11-2019 - 11:29

Cho tui hỏi bài này tí:

(ko biết là bài j nên cho số logic tí vậy):

61.1.

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

1/[a(b+1)]  +  1/[b(c+1)]  +  1/[c(a+1)]  >=  3/(1+abc)


“Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.” -Albert Einstein - Phát biểu tại Viện Khoa học Prussian, 01/1921

(Đọc thêm tại: https://www.tudienda...n/dn/itemid/574 © TuDienDanhNgon.vn)

:icon6: LIKE giúp tôi nhá!!!  :icon6: 


#1214 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 10-11-2019 - 13:29

Cách hơi dài. 

$$ VT^2 \geq \sum  \frac{3}{ab(b+1)(c+1)} = \frac{3[c(a+1)+a(1+b)+b(1+c)]}{abc(1+a)(1+b)(1+c)} = \frac{3}{abc} - \frac{3}{(1+a)(1+b)(1+c)} - \frac{3}{abc(a+1)(b+1)(c+1)} $$

Mặt khác  $ (1+a)(1+b)(1+c) = 1+abc+a+b+c+ab+bc+ac \geq 1 + 3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} + abc = (\sqrt[3]{abc} +1)^3 $.

Suy ra $  \frac{3}{abc} - \frac{3}{(1+a)(1+b)(1+c)} - \frac{3}{abc(a+1)(b+1)(c+1)} \geq \frac{3}{abc} - \frac{3}{(1+\sqrt[3]{abc})^3} -\frac{3}{abc(1+\sqrt[3]{abc})} = \frac{9}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(1+\sqrt[3]{abc})^2}. $

$ \Rightarrow  VT \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})} .$

Cần chứng minh $ \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})} \geq \frac{3}{1+abc} $ hay $ \sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc}) \leq 1 + abc.$

Ta có $ \sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc}) =  \sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{a^2b^2c^2} \leq \frac{abc+1+1}{3} + \frac{abc+abc+1}{3} = abc + 1 = VP $. (ĐPCM)

Dấu "=" khi $ a=b=c=1.$


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#1215 Syndycate

Syndycate

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Mars

Đã gửi 11-11-2019 - 23:38

Mình xin góp thêm một bài:
Cho $xy+yz+zx=1$ . Tìm min của $P=x^4+y^4+z^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
x^4+...+z^4= 1/1^2+1^2+1^2 .(1^2+1^2+1^2)(x^4+...+z^4)>= 1/3. (x^2+y^2+z^2)^2>=1/3
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1/căn 3

#1216 hung4299

hung4299

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS - THPT Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Khoa Học Tự Nhiên, Toán Học, Công Nghệ Thông Tin

Đã gửi 14-11-2019 - 18:55

Cách hơi dài. 

$$ VT^2 \geq \sum  \frac{3}{ab(b+1)(c+1)} = \frac{3[c(a+1)+a(1+b)+b(1+c)]}{abc(1+a)(1+b)(1+c)} = \frac{3}{abc} - \frac{3}{(1+a)(1+b)(1+c)} - \frac{3}{abc(a+1)(b+1)(c+1)} $$

Mặt khác  $ (1+a)(1+b)(1+c) = 1+abc+a+b+c+ab+bc+ac \geq 1 + 3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} + abc = (\sqrt[3]{abc} +1)^3 $.

Suy ra $  \frac{3}{abc} - \frac{3}{(1+a)(1+b)(1+c)} - \frac{3}{abc(a+1)(b+1)(c+1)} \geq \frac{3}{abc} - \frac{3}{(1+\sqrt[3]{abc})^3} -\frac{3}{abc(1+\sqrt[3]{abc})} = \frac{9}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(1+\sqrt[3]{abc})^2}. $

$ \Rightarrow  VT \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})} .$

Cần chứng minh $ \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})} \geq \frac{3}{1+abc} $ hay $ \sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc}) \leq 1 + abc.$

Ta có $ \sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc}) =  \sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{a^2b^2c^2} \leq \frac{abc+1+1}{3} + \frac{abc+abc+1}{3} = abc + 1 = VP $. (ĐPCM)

Dấu "=" khi $ a=b=c=1.$

Thanks bạn nhiều. tôi ko ngờ CM hầu như chỉ cần KT quy đồng mẫu số!


“Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.” -Albert Einstein - Phát biểu tại Viện Khoa học Prussian, 01/1921

(Đọc thêm tại: https://www.tudienda...n/dn/itemid/574 © TuDienDanhNgon.vn)

:icon6: LIKE giúp tôi nhá!!!  :icon6: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh