Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1220 trả lời

#141 Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 460 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-05-2012 - 19:47

Cho x,y nguyên dương thỏa x+y=201.Tìm min,max : P=x($x^2$+y) + y($y^2$+x)

Bài này mình chỉ tìm được min thôi :( Mà số liệu trông xấu thế.

$P=x^3+y^3+2xy = (x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy = 201[(x+y)^2-3xy]+2xy = 201^3-601xy \ge 201^3 - 601\dfrac{(x+y)^2}{4} = 201^3-\dfrac{601.201^2}{4}$
P đạt min tại $x=y=\dfrac{201}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 23-05-2012 - 19:48


#142 Ciel124

Ciel124

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 24-05-2012 - 08:14

Bài này mình chỉ tìm được min thôi :( Mà số liệu trông xấu thế.

$P=x^3+y^3+2xy = (x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy = 201[(x+y)^2-3xy]+2xy = 201^3-601xy \ge 201^3 - 601\dfrac{(x+y)^2}{4} = 201^3-\dfrac{601.201^2}{4}$
P đạt min tại $x=y=\dfrac{201}{2}$


x,y nguyên dương bạn ơi =(
Bài này mình lấy ra từ 1 cuốn sách mà lật kết quả thì nó lại ghi "Bạn đọc tự giải" TT^TT

#143 thuy9anamhong

thuy9anamhong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 07-06-2012 - 20:47

$P=\dfrac{a^2}{a^{3}+8abc}+\dfrac{b^2}{b^{3}+8abc}+\dfrac{c^2}{c^{3}+8abc}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}\ge \dfrac{1}{(a+b+c)^3}=1$

Hình đã gửi

cho em hỏi bước cuối cùng làm sao nói được a3+b3+c+24abc bé thua hoặc bằng (a+b+c)3
em cảm ơn ạ

#144 Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cờ Đỏ
  • Sở thích:no

Đã gửi 07-06-2012 - 21:41

Bài này mình chỉ tìm được min thôi :( Mà số liệu trông xấu thế.

$P=x^3+y^3+2xy = (x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy = 201[(x+y)^2-3xy]+2xy = 201^3-601xy \ge 201^3 - 601\dfrac{(x+y)^2}{4} = 201^3-\dfrac{601.201^2}{4}$
P đạt min tại $x=y=\dfrac{201}{2}$


Với dạng này cách cơ bản nhất là nhẩm điểm rơi và chứng minh cho điểm rơi đó
Đặt $x = 101 + t$ ; $y = 100 - t$

Khi đó $ xy = 100.101 - t - t^2 = 100.101 - t(1 + t) \leq 100.101$


Tương tự vs min , đặt x = 1 + k ; y = 200 - k
$xy = 200 + 199k - k^2 = 200 + k(199 - k) \geq 200$

P . I = A . 22


#145 thuy9anamhong

thuy9anamhong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 07-06-2012 - 22:10

$ P=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ca}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ca+3bc}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ca}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=\dfrac{1}{2}$

cho em hỏi ở chỗ a3+b3+c3+24abc$\leqslant$ (a+b+c)3

#146 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2012 - 11:25

Bài 1. Với a, b, c là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{2c(a-b)}{b(a+c)}.$

Bài 2. Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1.

Tìm GTLN của biểu thức:

P = 6(ab + bc + ca) + a(a - b)2+ b(b - c)2+ c(c - a)2

Bài 3. Với x $\epsilon R,$ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = $\sqrt{4x^{2}+1}+2\sqrt{x^{2}- 2x+2}$



#147 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 08-06-2012 - 12:05

Bài 3. Với x $\epsilon R,$ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = $\sqrt{4x^{2}+1}+2\sqrt{x^{2}- 2x+2}$


Theo BĐT $Minkowski$ ta có

\[y = \sqrt {4{x^2} + 1} + 2\sqrt {{x^2} - 2x + 2} = \sqrt {{{\left( {2x} \right)}^2} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( {2 - 2x} \right)}^2} + {2^2}} \ge \sqrt {{{\left( {2x + 2 - 2x} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}} = 5\]

#148 hoangvi1997

hoangvi1997

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 13-06-2012 - 13:00

Cho ba số dương a,b,c sao cho: $a+b+c=3$. CM: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvi1997: 13-06-2012 - 13:17


#149 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 13-06-2012 - 17:07

Cho ba số dương a,b,c sao cho: $a+b+c=3$. CM: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{3}{2}$


Ta có: theo $AM-GM$
\[\frac{1}{{1 + {a^2}}} = 1 - \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}} \ge 1 - \frac{{{a^2}}}{{2a}} = 1 - \frac{a}{2}\]

Xây dựng các BĐT tương tự và cộng lại.

#150 Manhhuy

Manhhuy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 24-06-2012 - 23:55

Cho a,b,c > 0 CM:
$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Cho a,b,c > 0 CM:
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Manhhuy: 25-06-2012 - 00:21


#151 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 27-06-2012 - 01:38

Mượn topic này để thông báo tới bạn Manhhuy: Bạn bị treo nick 1 tuần do phát ngôn "bậy". Nếu còn tái phạm sẽ bị ban nick.

#152 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 27-06-2012 - 21:42

Cho a,b,c > 0 CM:
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

Mình ham bài dễ quá :P
Dễ tháy
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right ) =abc +a+b+c+ab+bc+ca +1 \geq 3\sqrt[3]{abc} +3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} +abc+1 =(1+\sqrt[3]{abc})^3$

#153 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-07-2012 - 15:57

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $xyz \ge 1$. CMR: $\frac{x}{{\sqrt {x + \sqrt {yz} } }} + \frac{y}{{\sqrt {y + \sqrt {zx} } }} + \frac{z}{{\sqrt {z + \sqrt
{xy} } }} \ge \frac{3}{{\sqrt 2 }}$ (THTT)

#154 HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Xuyên
  • Sở thích:Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.

Đã gửi 27-12-2012 - 09:09

tìm GTLN của $f(x)=sin^{5}x+\sqrt{3}cosx$
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#155 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 27-12-2012 - 11:58

bạn mathhieu cho mình cái chứng minh tất cả các bất đẳng thức bạn đưa ra ko theo mình biết thì thcs chỉ dc áp dụng cauchy cho 2 số và bunhi cho 2 số các cái khác nếu muốn áp dụng cần chứng minh.tiện đây mọi người giải dùm bài này nhé.
Với $a,b,c\neq 0$ chứng minh
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Cái này phải cho dương nữa thì phải:
Đặt $x=\dfrac{a}{b}$ tương tự với y và z
BDT trở thành
$x^2+y^2+z^2 \ge x+y+z$
Do $xyz=\dfrac{abc}{abc}=1$
Áp dụng bdt $C-S$,ta có:
$x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$
ta sẽ chứng minh $\dfrac{(x+y+z)^2}{3} \ge x+y+z$
Nhân chéo,ta có:
$x+y+z \ge 3$(Áp dụng $AM-GM$ là có dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 27-12-2012 - 11:59

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#156 HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Xuyên
  • Sở thích:Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.

Đã gửi 28-12-2012 - 10:43

bạn mathhieu cho mình cái chứng minh tất cả các bất đẳng thức bạn đưa ra ko theo mình biết thì thcs chỉ dc áp dụng cauchy cho 2 số và bunhi cho 2 số các cái khác nếu muốn áp dụng cần chứng minh.tiện đây mọi người giải dùm bài này nhé.
Với $a,b,c\neq 0$ chứng minh
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Đặt A=$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}$
Áp dụng bdt Bunhiacopxki
3A=(1+1+1)($\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}$)$\geq (\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^{2}$ (1)
Áp dung bdt Cô sy ta có
$\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3$ (2)
Nhân từng vế của (1) và (2)
$3A(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^{2}$
$\Rightarrow A\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#157 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 28-12-2012 - 10:56

bạn mathhieu cho mình cái chứng minh tất cả các bất đẳng thức bạn đưa ra ko theo mình biết thì thcs chỉ dc áp dụng cauchy cho 2 số và bunhi cho 2 số các cái khác nếu muốn áp dụng cần chứng minh.tiện đây mọi người giải dùm bài này nhé.
Với $a,b,c\neq 0$ chứng minh
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$


Ta có

$\left ( \frac{a}{b} -1\right )^{2}+\left ( \frac{b}{c} -1\right )^{2}+\left ( \frac{c}{a}-1 \right )^{2}\geqslant 0$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+3\geqslant 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )$

Mặt khác

$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geqslant 3$

$\Rightarrow 2\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \right )\geqslant \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+3$

Vậy

$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geqslant \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$.

#158 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 28-12-2012 - 11:30

Mình thấy cách đặt ẩn phụ là nhanh,gọn mà.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 28-12-2012 - 11:31

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#159 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 28-12-2012 - 11:37

Mình thấy cách đặt ẩn phụ là nhanh,gọn mà.


Đằng nào chẳng thế hở em :lol: Chỉ tội mất nhiều công gõ Latex :lol:

#160 uyenphuong1302

uyenphuong1302

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 05-01-2013 - 09:20

Các anh chị giải giùm em bài này với:
$Tìm giá trị lớn nhất của A = x^{2}y với x,y> 0 và 2x + xy= 4.$
Một bài dạng khác: Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn căn hai nhưng nhỏ hơn căn 3.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh