Chủ đề này có 1205 trả lời

[sokkonthongminh]

Các số thực x, y, z thỏa mãn: x$^{4}$ + y$^{4}$ + z$^{4}$ = 3. Tìm GTLN của biểu thức:

P = x² (y + z) + y² (x + z) +z² (y + x)

[Cao Xuân Huy]

Ta có: $P=x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(y+x) = \sum {2{x^2}.\dfrac{{y + z}}{2}} $

Áp dụng bđt: $ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$ ta có:

$P = \sum {2{x^2}.\dfrac{{y + z}}{2}} \le \sum {{x^4} + \sum {\dfrac{{{{(y + z)}^2}}}{4}} } = 3 + \sum {\dfrac{{{{(y + z)}^2}}}{4}} $

Áp dụng tiếp bđt $(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$ ta có:

$P \le 3 + \sum {\dfrac{{{{(y + z)}^2}}}{4}} \le 3 + \sum {\dfrac{{2({y^4} + {z^4})}}{4} = 3 + } \sum {{x^4}} = 3 + 3 = 6$

Vậy $P_{max}=6$.

Dễ dàng thấy max xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 12-12-2011 - 16:49

[sokkonthongminh]

Ta có: $P=x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(y+x) = \sum {2{x^2}.\dfrac{{y + z}}{2}} $

Áp dụng bđt: $ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$ ta có:

$P = \sum {2{x^2}.\dfrac{{y + z}}{2}} \le \sum {{x^4} + \sum {\dfrac{{{{(y + z)}^2}}}{4}} } = 3 + \sum {\dfrac{{{{(y + z)}^2}}}{4}} $

Áp dụng tiếp bđt $(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$ ta có:

$P \le 3 + \sum {\dfrac{{{{(y + z)}^2}}}{4}} \le 3 + \sum {\dfrac{{2({y^4} + {z^4})}}{4} = 3 + } \sum {{x^4}} = 3 + 3 = 6$

Vậy $P_{max}=6$.

Dễ dàng thấy max xảy ra khi $x=y=z=1$

Cho mình hỏi 1 chút sigma là gì? Bạn có thể cho mjnh bít ko?

Với lại khi thi cấp 3 có dc phép dùng nó ko?

[Katyusha]

$\sum {\dfrac{(y + z)^2}{4}} \le \sum {\dfrac{2(y^4 + z^4)}{4}} $

Phần đánh giá này có vẻ chưa được rõ ràng lắm

Ta có $\sum{\dfrac{(y+z)^2}{4}}\leq \sum{\dfrac{y^2+z^2}{2}} = x^2+y^2+z^2$

Do $9=3(x^4+y^4+z^4) \geq (x^2+y^2+z^2) \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \leq 3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 13-12-2011 - 22:25

[Cao Xuân Huy]

Phần đánh giá này có vẻ chưa được rõ ràng lắm

Ta có $\sum{\dfrac{(y+z)^2}{4}}\leq \sum{\dfrac{y^2+z^2}{2}} = x^2+y^2+z^2$

Do $9=3(x^4+y^4+z^4) \geq (x^2+y^2+z^2) \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \leq 3$.

Sorry mình nhầm tí. Nghĩ một đằng post một nẻo

[timelord]

minh dong gop mot so bai nha :
cau 1: cho a,b la cac so thuc duong .CMR:
$(a^{2}+b+\dfrac{3}{4})(b^{2}+a+\dfrac{3}{4})\geq (2a+\dfrac{1}{2})(2b+\dfrac{1}{2})$
cau2:Cho x la so thuc duong va n la 1 so nguyen duong.CMR:
$1+x^{n+1}\geq \dfrac{2x^{n}}{(1+x)^{n-1}}$

[Tham Lang]

bài 1 ta có $(a^2 + b + \dfrac{3}{4})(b^2 + a + \dfrac{3}{4}) \ge (a + b + \dfrac{1}{2})(a + b + \dfrac{1}{2}) = (a + b)^2 + (a + b) + \dfrac{1}{4} \ge 4ab + a + b + \dfrac{1}{4} = (2a + \dfrac{1}{2})(2b + \dfrac{1}{2})$
Nếu bài 2 thực sự đề ra như thế này thì nó quá yếu khi n = 1, xảy ra dấu =. Xét n # 1
$$ (1 + x^{n + 1})(1 + x)^{n - 1} \ge (1 + x^{n + 1})(1 + x^{n - 1}) = 1 + x^{n - 1} + x^{n + 1} + x^{2n} \ge 1 + 2.x^n + x^2n > 2x^n$$ đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 16-01-2012 - 02:08

[tuilatrai123]

Các số thực x, y, z thỏa mãn: x$^{4}$ + y$^{4}$ + z$^{4}$ = 3. Tìm GTLN của biểu thức:

P = x² (y + z) + y² (x + z) +z² (y + x)

cái bài trên cho a,b,c số thực thôi mà bạn dùng cốy, lỡ nó âm thì sao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuilatrai123: 13-02-2012 - 15:42

[baonguyen97]

Với a,b,c dương tìm GTLN của: P = $\dfrac{a+b}{a+b+2c}+\dfrac{a+c}{a+2b+c}+\dfrac{c+b}{2a+b+c}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baonguyen97: 29-02-2012 - 21:29

[yeutoan11]

Với a,b,c>0 tìm GTLN của: P = \frac{a+b}{a+b+2c} + \frac{a+c}{a+2b+c}+\frac{c+b}{2a+b+c} + \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}
sr minh go cong thuc ko dc

Ct kẹp giữa hai dấu đô la ($)

[danglequan97]

Giúp mình áp dụng bđt bunhiacopxki với nhé:
1/Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác, gọi khoảng cách từ M đến AB, AC, BC là z, x, y.
C/m:
√x+√y+√z≤√((a^2+b^2+c^2 )2S/abc)
a,b,c là cạnh
S là diện tích tam giác
2/a,b,c ≠0
C/m:
a^2/b^2 +b^2/c^2 +c^2/a^2 ≥a/b+b/c+c/a
3/Biết rằng PT:
x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 có nghiệm
C/m:
a^2+b^2≥4/5

[hamdvk]

BÀi 2 nhé
Đặt$\frac{a}{b}=x > 0 ; \frac{b}{c}=y >0 ;\frac{c}{a}=z >0$
có x.y.z =1
$\Rightarrow \Sigma x^{2}\geq 3xyz=3$ ( BDT cô si )
có $x^{2}+1\geq 2x$ ( Cô si )
$\Rightarrow \Sigma x^{2}+3\geq 2\Sigma x$
mà$\Sigma x^{2}\geq 3$
$\Rightarrow 2\Sigma x^{2}\geq 3+\Sigma x^{2}\geq 2\Sigma x$
hay $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq x+y+x$
dpcm

[ztonydomz]

Ai giúp em chứng minh các BĐT đầu topic với ... em mới lớp 8 nên trình độ còn yếu kém lắm ... thanks nhiều ạ ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ztonydomz: 10-05-2012 - 20:05

[NLT]

Nung nóng lại topic này nào.
-----------------
EXERCISE:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left[ {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {c + a} \right)}^2}}}} \right] \ge {9 \over 4}$
--------------------

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Ai giúp em chứng minh các BĐT đầu topic với ... em mới lớp 8 nên trình độ còn yếu kém lắm ... thanks nhiều ạ ...

$\left [ x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y) \right ]^2\leq(x^4+y^4+z^4)\left [ (y+z)^2+(z+x)^2+(x+y)^2 \right ] \leq 4(x^4+y^4+z^4)(x^2+y^2+z^2) \leq 4(x^4+y^4+z^4)\sqrt{3
(x^4+y^4+z^4)} = 36$
$\Rightarrow P \leq 6 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 10-05-2012 - 22:00

[Nguyễn Hữu Huy]

Nung nóng lại topic này nào.
-----------------
EXERCISE:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left[ {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {c + a} \right)}^2}}}} \right] \ge {9 \over 4}$
--------------------

Nung nóng lại topic này nào.
-----------------
EXERCISE:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left[ {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {c + a} \right)}^2}}}} \right] \ge {9 \over 4}$
--------------------

Chắc có nhiều cách để giải bài toán này ! Nhưng đang luyện S.O.S nên mạn phép tiểu đệ chém theo pp nớ ! Hơi tộc lẹc 1 tý ! Mong các ta-cưa thông cảm !

BĐT tương đương

$\sum \frac{a}{b + c} + \sum \frac{ab}{(a + b)^2} \geq \frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b + c} - \frac{3}{2} + \sum \frac{ab}{(a + b)^2} - \frac{3}{4} \geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (a -b)[\frac{4(a - b)^2 - 2(a +c)(b + c)}{2(b + c)(a + c).4(a + b)^2} \geq 0$

Giờ cần cm

• $S_a + S_b + S_c \geq 0$ (luôn đúng)

• $S_a.S_b + S_b.S_c + S_a.S_c \geq 0$ (1)

Đặt a - b = x ; b - c = y ; c - a = z
Khi đó chú ý đk x + y + z = 0

$(1) \Leftrightarrow 2(x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2) - (x^3y + xy^3 + y^3z + yz^3 + x^3z + xz^3) + \frac{1}{2}xyz(x + y + z) \geq 0$

Kết hợp schur
$\sum x^2(x - y)(x - z) \geq 0$

Chỉ cần cm
$x^4 + y^4 + z^4 \leq 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

$\Leftrightarrow (x^2 + y^2 + z^2)^2 \leq 4 \sum x^2y^2$

$\Leftrightarrow 4(xy + yz + xz)^2 \leq 4 \sum x^2y^2$ (chú ý x + y + z = 0)

$\Leftrightarrow 0 \leq 0$ (luôn đúng)

p/s : tự nhiên thấy nó bằng luôn chứ thấy lớn hơn hoặc bằng đâu!? )

Vậy BĐT đc cm !
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 11-05-2012 - 06:20

[NLT]

Chắc có nhiều cách để giải bài toán này ! Nhưng đang luyện S.O.S nên mạn phép tiểu đệ chém theo pp nớ ! Hơi tộc lẹc 1 tý ! Mong các ta-cưa thông cảm !

BĐT tương đương

$\sum \frac{a}{b + c} + \sum \frac{ab}{(a + b)^2} \geq \frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b + c} - \frac{3}{2} + \sum \frac{ab}{(a + b)^2} - \frac{3}{4} \geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (a -b)[\frac{4(a - b)^2 - 2(a +c)(b + c)}{2(b + c)(a + c).4(a + b)^2} \geq 0$

Giờ cần cm

• $S_a + S_b + S_c \geq 0$ (luôn đúng)

• $S_a.S_b + S_b.S_c + S_a.S_c \geq 0$ (1)

Đặt a - b = x ; b - c = y ; c - a = z
Khi đó chú ý đk x + y + z = 0

$(1) \Leftrightarrow 2(x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2) - (x^3y + xy^3 + y^3z + yz^3 + x^3z + xz^3) + \frac{1}{2}xyz(x + y + z) \geq 0$

Kết hợp schur
$\sum x^2(x - y)(x - z) \geq 0$

Chỉ cần cm
$x^4 + y^4 + z^4 \leq 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

$\Leftrightarrow (x^2 + y^2 + z^2)^2 \leq 4 \sum x^2y^2$

$\Leftrightarrow 4(xy + yz + xz)^2 \leq 4 \sum x^2y^2$ (chú ý x + y + z = 0)

$\Leftrightarrow 0 \leq 0$ (luôn đúng)

p/s : tự nhiên thấy nó bằng luôn chứ thấy lớn hơn hoặc bằng đâu!? )

Vậy BĐT đc cm !
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

OTHER SOLUTION:
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c > 0$
Bổ đề: $\sum {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \ge {1 \over {4ab}} + {2 \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}$
Chứng minh bổ đề:Bổ đề cần chứng minh tương đương:
${\left( {{1 \over {a + c}} - {1 \over {b + c}}} \right)^2} \ge {{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {4ab{{\left( {a + b} \right)}^2}}}$
$ \Leftrightarrow 4ab{\left( {a + b} \right)^2} \ge {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2}$
(Đúng vì $a \ge b \ge c \Leftrightarrow 4ab \ge 4{b^2} \ge {\left( {b + c} \right)^2};\,{\left( {a + b} \right)^2} \ge {\left( {a + c} \right)^2}$)
Áp dụng vào bài toán: Từ bổ đề trên, để cm bất đẳng thức của bài ra, ta cần chứng minh:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {{1 \over {4ab}} + {2 \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}} \right) \ge {9 \over 4}$
$ \Leftrightarrow {1 \over 4} + {{c\left( {a + b} \right)} \over {4ab}} + {{2\left( {ab + bc + ca} \right)} \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} \ge {9 \over 4}$
$ \Leftrightarrow {{c\left( {a + b} \right)} \over {4ab}} + 2 - {{2{c^2}} \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} \ge 2$
$ \Leftrightarrow {{c\left( {a + b} \right)} \over {4ab}} \ge {{2{c^2}} \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}$
$ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8abc$ (đúng theo AM-GM)
Do đó ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c .
------------------------
P/S: Mình post đề hơi bị nhầm một tí. Điều kiện chặt hơn là a,b,c không âm. Khi đó thì đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=b; c=0 và các hoán vị.
-----------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 11-05-2012 - 07:02

[Secrets In Inequalities VP]

Nung nóng lại topic này nào.
-----------------
EXERCISE:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left[ {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {c + a} \right)}^2}}}} \right] \ge {9 \over 4}$
--------------------

Cai' này là Iran 96 đúng ko nhi?

[NLT]

Cai' này là Iran 96 đúng ko nhi?

Uh`, đây là bđt Iran 1996, các bạn có thể xem lời giải khá hay của anh Võ Quốc Bá Cẩn ở đây:
http://www.artofprob...650529&t=249265

[Ciel124]

Cho x,y nguyên dương thỏa x+y=201.Tìm min,max : P=x($x^2$+y) + y($y^2$+x)