Chủ đề này có 1205 trả lời

[Katyusha]

Cho x,y nguyên dương thỏa x+y=201.Tìm min,max : P=x($x^2$+y) + y($y^2$+x)

Bài này mình chỉ tìm được min thôi Mà số liệu trông xấu thế.

$P=x^3+y^3+2xy = (x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy = 201[(x+y)^2-3xy]+2xy = 201^3-601xy \ge 201^3 - 601\dfrac{(x+y)^2}{4} = 201^3-\dfrac{601.201^2}{4}$
P đạt min tại $x=y=\dfrac{201}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 23-05-2012 - 19:48

[Ciel124]

Bài này mình chỉ tìm được min thôi Mà số liệu trông xấu thế.

$P=x^3+y^3+2xy = (x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy = 201[(x+y)^2-3xy]+2xy = 201^3-601xy \ge 201^3 - 601\dfrac{(x+y)^2}{4} = 201^3-\dfrac{601.201^2}{4}$
P đạt min tại $x=y=\dfrac{201}{2}$

x,y nguyên dương bạn ơi =(
Bài này mình lấy ra từ 1 cuốn sách mà lật kết quả thì nó lại ghi "Bạn đọc tự giải" TT^TT

[thuy9anamhong]

$P=\dfrac{a^2}{a^{3}+8abc}+\dfrac{b^2}{b^{3}+8abc}+\dfrac{c^2}{c^{3}+8abc}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}\ge \dfrac{1}{(a+b+c)^3}=1$

cho em hỏi bước cuối cùng làm sao nói được a³+b³+c+24abc bé thua hoặc bằng (a+b+c)³
em cảm ơn ạ

[Nguyễn Hữu Huy]

Bài này mình chỉ tìm được min thôi Mà số liệu trông xấu thế.

$P=x^3+y^3+2xy = (x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy = 201[(x+y)^2-3xy]+2xy = 201^3-601xy \ge 201^3 - 601\dfrac{(x+y)^2}{4} = 201^3-\dfrac{601.201^2}{4}$
P đạt min tại $x=y=\dfrac{201}{2}$

Với dạng này cách cơ bản nhất là nhẩm điểm rơi và chứng minh cho điểm rơi đó
Đặt $x = 101 + t$ ; $y = 100 - t$

Khi đó $ xy = 100.101 - t - t^2 = 100.101 - t(1 + t) \leq 100.101$


Tương tự vs min , đặt x = 1 + k ; y = 200 - k
$xy = 200 + 199k - k^2 = 200 + k(199 - k) \geq 200$

[thuy9anamhong]

$ P=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ca}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ca+3bc}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ca}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=\dfrac{1}{2}$

cho em hỏi ở chỗ a³+b³+c³+24abc$\leqslant$ (a+b+c)³

[Beautifulsunrise]

Bài 1. Với a, b, c là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{2c(a-b)}{b(a+c)}.$

Bài 2. Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1.

Tìm GTLN của biểu thức:

P = 6(ab + bc + ca) + a(a - b)²+ b(b - c)²+ c(c - a)²

Bài 3. Với x $\epsilon R,$ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = $\sqrt{4x^{2}+1}+2\sqrt{x^{2}- 2x+2}$

[viet 1846]

Bài 3. Với x $\epsilon R,$ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = $\sqrt{4x^{2}+1}+2\sqrt{x^{2}- 2x+2}$

Theo BĐT $Minkowski$ ta có

\[y = \sqrt {4{x^2} + 1} + 2\sqrt {{x^2} - 2x + 2} = \sqrt {{{\left( {2x} \right)}^2} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( {2 - 2x} \right)}^2} + {2^2}} \ge \sqrt {{{\left( {2x + 2 - 2x} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}} = 5\]

[hoangvi1997]

Cho ba số dương a,b,c sao cho: $a+b+c=3$. CM: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvi1997: 13-06-2012 - 13:17

[viet 1846]

Cho ba số dương a,b,c sao cho: $a+b+c=3$. CM: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{3}{2}$

Ta có: theo $AM-GM$
\[\frac{1}{{1 + {a^2}}} = 1 - \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}} \ge 1 - \frac{{{a^2}}}{{2a}} = 1 - \frac{a}{2}\]

Xây dựng các BĐT tương tự và cộng lại.

[Manhhuy]

Cho a,b,c > 0 CM:
$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Cho a,b,c > 0 CM:
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Manhhuy: 25-06-2012 - 00:21

[Crystal]

Mượn topic này để thông báo tới bạn Manhhuy: Bạn bị treo nick 1 tuần do phát ngôn "bậy". Nếu còn tái phạm sẽ bị ban nick.

[Tru09]

Cho a,b,c > 0 CM:
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

Mình ham bài dễ quá
Dễ tháy
$\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right ) =abc +a+b+c+ab+bc+ca +1 \geq 3\sqrt[3]{abc} +3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} +abc+1 =(1+\sqrt[3]{abc})^3$

[Beautifulsunrise]

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $xyz \ge 1$. CMR: $\frac{x}{{\sqrt {x + \sqrt {yz} } }} + \frac{y}{{\sqrt {y + \sqrt {zx} } }} + \frac{z}{{\sqrt {z + \sqrt
{xy} } }} \ge \frac{3}{{\sqrt 2 }}$ (THTT)

[HungHuynh2508]

tìm GTLN của $f(x)=sin^{5}x+\sqrt{3}cosx$

[Oral1020]

bạn mathhieu cho mình cái chứng minh tất cả các bất đẳng thức bạn đưa ra ko theo mình biết thì thcs chỉ dc áp dụng cauchy cho 2 số và bunhi cho 2 số các cái khác nếu muốn áp dụng cần chứng minh.tiện đây mọi người giải dùm bài này nhé.
Với $a,b,c\neq 0$ chứng minh
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Cái này phải cho dương nữa thì phải:
Đặt $x=\dfrac{a}{b}$ tương tự với y và z
BDT trở thành
$x^2+y^2+z^2 \ge x+y+z$
Do $xyz=\dfrac{abc}{abc}=1$
Áp dụng bdt $C-S$,ta có:
$x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$
ta sẽ chứng minh $\dfrac{(x+y+z)^2}{3} \ge x+y+z$
Nhân chéo,ta có:
$x+y+z \ge 3$(Áp dụng $AM-GM$ là có dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 27-12-2012 - 11:59

[HungHuynh2508]

bạn mathhieu cho mình cái chứng minh tất cả các bất đẳng thức bạn đưa ra ko theo mình biết thì thcs chỉ dc áp dụng cauchy cho 2 số và bunhi cho 2 số các cái khác nếu muốn áp dụng cần chứng minh.tiện đây mọi người giải dùm bài này nhé.
Với $a,b,c\neq 0$ chứng minh
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Đặt A=$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}$
Áp dụng bdt Bunhiacopxki
3A=(1+1+1)($\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}$)$\geq (\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^{2}$ (1)
Áp dung bdt Cô sy ta có
$\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3$ (2)
Nhân từng vế của (1) và (2)
$3A(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^{2}$
$\Rightarrow A\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

[banhgaongonngon]

bạn mathhieu cho mình cái chứng minh tất cả các bất đẳng thức bạn đưa ra ko theo mình biết thì thcs chỉ dc áp dụng cauchy cho 2 số và bunhi cho 2 số các cái khác nếu muốn áp dụng cần chứng minh.tiện đây mọi người giải dùm bài này nhé.
Với $a,b,c\neq 0$ chứng minh
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Ta có

$\left ( \frac{a}{b} -1\right )^{2}+\left ( \frac{b}{c} -1\right )^{2}+\left ( \frac{c}{a}-1 \right )^{2}\geqslant 0$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+3\geqslant 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )$

Mặt khác

$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geqslant 3$

$\Rightarrow 2\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \right )\geqslant \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+3$

Vậy

$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geqslant \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$.

[Oral1020]

Mình thấy cách đặt ẩn phụ là nhanh,gọn mà.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 28-12-2012 - 11:31

[banhgaongonngon]

Mình thấy cách đặt ẩn phụ là nhanh,gọn mà.

Đằng nào chẳng thế hở em Chỉ tội mất nhiều công gõ Latex

[uyenphuong1302]

Các anh chị giải giùm em bài này với:
$Tìm giá trị lớn nhất của A = x^{2}y với x,y> 0 và 2x + xy= 4.$
Một bài dạng khác: Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn căn hai nhưng nhỏ hơn căn 3.