bạn mathhieu cho mình cái chứng minh tất cả các bất đẳng thức bạn đưa ra ko theo mình biết thì thcs chỉ dc áp dụng cauchy cho 2 số và bunhi cho 2 số các cái khác nếu muốn áp dụng cần chứng minh.tiện đây mọi người giải dùm bài này nhé.
Với $a,b,c\neq 0$ chứng minh
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
Đặt A=$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}$
Áp dụng bdt Bunhiacopxki
3A=(1+1+1)($\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}$)$\geq (\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^{2}$ (1)
Áp dung bdt Cô sy ta có
$\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3$ (2)
Nhân từng vế của (1) và (2)
$3A(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^{2}$
$\Rightarrow A\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$