Chủ đề này có 1205 trả lời

[daicahuyvn]

Cho mình hỏi tiếp nhé ( quả thực mình có rất nhiều BĐT nhưng lại chẳng biết làm,  ngại quá )

Bài 8: Cho a,b,c >0 CMR $\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

 

Bài 9: Cho a,b,c >0 CMR : $\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

 

Bài 10: Cho $x,y \epsilon \mathbb{R}$ ; $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ . Tìm GTNN  $S=x^{2}+3xy-2y^2-8y+5$

8.x=a,y=2b,z=3c

$P=\frac{xy}{3x+4y+2z}+\frac{yz}{3y+4z+2x}+\frac{zx}{3z+4x+2y}\le \frac{x+y+z}{9}$

$P=\sum \frac{xy}{2(x+y+z)+(x+2y)}\le \sum \frac{xy}{9}(\frac{2}{x+y+z}+\frac{1}{x+2y})=\frac{2(xy+yz+zx)}{9(x+y+z)}+\sum \frac{xy}{9(x+2y)}\le \frac{2}{27}(x+y+z)+\sum \frac{2x+y}{81}= \frac{x+y+z}{9} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 17-08-2013 - 07:02

[nhatduy01]

 

 

Bài 9: Cho a,b,c >0 CMR : $\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

 

BĐT cần chứng minh tương đương với

                             $\sqrt{(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b})}\geq 1+\sqrt[3]{(\frac{a^{2}}{bc}+1)(\frac{b^{2}}{ca}+1)(\frac{c^{2}}{ab}+1)}$

     Đặt $\frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y,\frac{c}{a}=z$   $\Rightarrow x,y,z>0,xyz=1$  

             Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương

                                     $\sqrt{(xy+yz+zx)(x+y+z)}\geq 1+\sqrt[3]{(\frac{x}{z}+1)(\frac{y}{x}+1)(\frac{z}{y}+1)}$    

                              $\Leftrightarrow \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)+xyz}\geq 1+\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}}$         

                           $\Leftrightarrow \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)+1}\geq 1+\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}$          (do xyz=1)

          Đặt $\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}=t$$\Rightarrow t\geq 2$

              khi đó BĐT trên trở thành

                            $\sqrt{t^{3}+1}\geq 1+t\Leftrightarrow t^{3}+1\geq 1+2t+t^{2}$             

                           $\Leftrightarrow t(t-2)(t+1)\geq 0$       (luôn đúng do $t\geq 2$)

$\Rightarrow$ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatduy01: 17-08-2013 - 22:15

[hoibai]

a,b,c\geq  0 Cm

\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq 3+a+

 

 

[hoctrocuanewton]

 

a,b,c\geq  0 Cm

\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq 3+a+

 

 

gõ lại đề đi bạn ơi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 18-08-2013 - 19:26

[Mori Ran]

Bài 1: Cho $a,b,c >\frac{25}{4}$ Tìm GTNN của $Q= \frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}$

 

Bài 2: Cho a,b, c>0 và a+b+c =1 . Tìm GTNN  của $A= \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}+$

 

Bài 3: Cho a,b > 0 thỏa mãn a+b=4ab  . CMR $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{1}{2}$

 

Bài 4: Cho a,b,c > 0 t/m a+b+c=1006. 

   CMR $\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{(c-a)^2}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{(a-b)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

 

Bài 5: Cho a,b,c >0 ; $a+b+c \leq 3$. Tìm Min  $A=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}$

 

Bài 6: x,y,z >0 ; xy+yz+xz =5 Tìm Min $P= \frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}}$

 

Bài 7: Cho a,b >0 ; a+b=2 Tìm MIN $Q= 2{a^2+b^2}-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

 

Bài 8 : Cho x,y, z>0 Tìm MIN $S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$

 

Bài 9: Cho x,y >0 t/m $x+\frac{1}{y}\leq \frac{1}{2}$. Tìm MIN $M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

[Trang Luong]

 

Bài 9: Cho x,y >0 t/m $x+\frac{1}{y}\leq \frac{1}{2}$. Tìm MIN $M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

9.

 

 

Ta có : $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{y}{x}+\frac{16^{2}x}{y}-\frac{\left (16^{2}-1 \right )x}{y}\geq 32-\frac{255}{16}=\frac{257}{16}$

Dấu = xảy ra khi $x=\frac{1}{4},y=4$

 

P/s: giải dấu "='' luôn đi

@@khong : Đã sửa     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 20-08-2013 - 22:36

[Trang Luong]

 

 

Bài 2: Cho a,b, c>0 và a+b+c =1 . Tìm GTNN  của $A= \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}+$

 

 

Bài 2

Đề hình như nhầm thj phải . BÀi này tìm GTLN chứ

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{ca+cb+c^{2}+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c} \right )$

Cm tt:...

[dotandung]

Bài 1: Cho $a,b,c >\frac{25}{4}$ Tìm GTNN của $Q= \frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}$

 

Bài 2: Cho a,b, c>0 và a+b+c =1 . Tìm GTNN  của $A= \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}+$

 

Bài 3: Cho a,b > 0 thỏa mãn a+b=4ab  . CMR $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{1}{2}$

 

Bài 4: Cho a,b,c > 0 t/m a+b+c=1006. 

   CMR $\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{(c-a)^2}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{(a-b)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

 

Bài 5: Cho a,b,c >0 ; $a+b+c \leq 3$. Tìm Min  $A=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}$

 

Bài 6: x,y,z >0 ; xy+yz+xz =5 Tìm Min $P= \frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}}$

 

Bài 7: Cho a,b >0 ; a+b=2 Tìm MIN $Q= 2{a^2+b^2}-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

 

Bài 8 : Cho x,y, z>0 Tìm MIN $S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$

 

Bài 9: Cho x,y >0 t/m $x+\frac{1}{y}\leq \frac{1}{2}$. Tìm MIN $M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

câu 5:

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}\geq \frac{27}{9+ab+bc+ca}\geq \frac{27}{2\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}$

min khi và chỉ khi a=b=c=1

p/s không biết có đúng không

[dotandung]

Bài 1: Cho $a,b,c >\frac{25}{4}$ Tìm GTNN của $Q= \frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}$

 

Bài 2: Cho a,b, c>0 và a+b+c =1 . Tìm GTNN  của $A= \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}+$

 

Bài 3: Cho a,b > 0 thỏa mãn a+b=4ab  . CMR $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{1}{2}$

 

Bài 4: Cho a,b,c > 0 t/m a+b+c=1006. 

   CMR $\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{(c-a)^2}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{(a-b)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

 

Bài 5: Cho a,b,c >0 ; $a+b+c \leq 3$. Tìm Min  $A=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}$

 

Bài 6: x,y,z >0 ; xy+yz+xz =5 Tìm Min $P= \frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{z^2+5}}$

 

Bài 7: Cho a,b >0 ; a+b=2 Tìm MIN $Q= 2{a^2+b^2}-6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

 

Bài 8 : Cho x,y, z>0 Tìm MIN $S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$

 

Bài 9: Cho x,y >0 t/m $x+\frac{1}{y}\leq \frac{1}{2}$. Tìm MIN $M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}\geq \frac{27}{9+3ab+3bc+3ca}\geq \frac{27}{2\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}

[dotandung]

câu 5:

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}\geq \frac{27}{9+ab+bc+ca}\geq \frac{27}{2\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}$

min khi và chỉ khi a=b=c=1

p/s không biết có đúng không

mình đánh sai bước 3 phải là 3ab+3bc+3ca

[Juliel]

Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng : $$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$$

[nhatduy01]

Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng : $$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$$

BĐT đã cho tương đương 

                $frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Áp dụng Cauchy Schwarz,ta có

              $(1+1+1)(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})\geq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}$

Theo AM-GM lại có

                 $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

               $\Rightarrow (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Lại có

             $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3$

           $\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatduy01: 24-08-2013 - 22:20

[Juliel]

BĐT đã cho tương đương 

               $ \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Áp dụng Cauchy Schwarz,ta có

              $(1+1+1)(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})\geq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}$

Theo AM-GM lại có

                 $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

               $\Rightarrow (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Lại có

             $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3$

           $\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Cách khác : $\left ( \frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right )\rightarrow (x;y;z)$ thì $xyz = 1$.

BĐT đã cho tương đương :

$\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=3+x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3+x+y+z+xy+yz+zx$

Mà $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$ nên ta chỉ cần chứng minh :

$t^{2}\geq 3+t+\frac{t^{2}}{3}\qquad(t=x+y+z)\Leftrightarrow (t-3)(3t+2)\geq 0$

Điều này luôn đúng do $t=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[trandaiduongbg]

Giúp mình nhé:

 

Bài 4: Với x>0 tìm min $M=4x^{2}-3x+\frac{1}{4x}+2013$

Cách khác không cần dùng AM-GM 3 số

$4x^2-4x+1+x+\frac{1}{4x}+2012=(2x-1)^2+(x+\frac{1}{4x})+2012 \geq 2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}+2012=2013$

Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 22-08-2013 - 12:18

[Mori Ran]

câu 5:

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}\geq \frac{27}{9+ab+bc+ca}\geq \frac{27}{2\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}$

min khi và chỉ khi a=b=c=1

p/s không biết có đúng không

Mình cũng làm ra như vậy đó

[Mori Ran]

 

Bài 3: Cho a,b > 0 thỏa mãn a+b=4ab  . CMR $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq \frac{1}{2}$

 

 

Cái này mình mới vừa nghĩ ra, mình dùng kĩ thuật Cô-si ngược dấu:

Ta có $\frac{a}{4b^2+1}=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}$

Vì $4b^2+1\geq 4b\Rightarrow -\frac{4ab^2}{4b}\geq -ab$

CMTT ta suy ra $\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq a+b-2ab$

Mà $a+b=4ab$

$\Rightarrow \frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\geq 2ab(1)$

_ Vì $a+b\geq2\sqrt{ab} \Rightarrow 4ab\geq 2\sqrt{ab}$

$\Rightarrow 2\sqrt{ab}\geq 1\Rightarrow \sqrt{ab}\geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow ab\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 2ab\geq \frac{1}{2}(2)$ 

_Từ (1) và (2) => ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mori Ran: 22-08-2013 - 16:56

[dotandung]

Câu 1: cho a b c là các số thực không âm cmr

$4\sum \sqrt{a^{3}b^{3}}\leqslant 4c^{3}+(a+b)^{3}$

Câu 2: cho a b c là các số thực dương thoả abc=2 cmr

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

Câu 3: cho a b c là các số thực dương thoả x+y+z=3 cmr:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$

[Zaraki]

Câu 3: cho a b c là các số thực dương thoả x+y+z=3 cmr:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$

Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\sum x^2+ 2 \sum \sqrt x \ge 9$.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \sqrt x+ \sqrt x \ge 3x$. Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.

[Trang Luong]

1. Cho $a,b,c$ là các số thực ko âm thỏa mãn $a+b+c=2$. Cmr: $\sqrt{x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x}+\sqrt{xy^{3}+zy^{3}+zx^{3}}\leq 2$
2. Cho $A,B,C$là 3 góc của 1 tam giác sao cho $5cosA+6cosB+7cosC=9$. Tìm GTNN của $P=sin^{2}\frac{A}{2}+sin^{3}\frac{B}{2}+sin^{4}\frac{C}{2}$

[Juliel]

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác có diện tích $S$. Chứng minh rằng : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}S$