Chủ đề này có 1205 trả lời

[Hoang Tung 126]

Vậy giả sử a+b+c=1 cũng được ạ?

Tùy thôi miễn là tổng của 3 số không âm là được

[emlaem21]

Bài 5: (THPT): Cho $a,b,c >0$.CMR: $\dfrac{2a^{3}}{a^{6}+bc}+\dfrac{2b^{3}}{b^{6}+ac}+\dfrac{2c^{3}}{c^{6}+ab}\leq \dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ab}$

$\fn_cm Ta có :\frac{2a^{3}}{a^{6}+bc}+\frac{2b^{3}}{b^{6}+ac}+\frac{2c^{3}}{c^{6}+ab} \leq \sum \frac{2a^{3}}{2a^{3}\sqrt{bc}}=\sum \frac{1}{\sqrt{bc}}=\frac{a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}}{abc}

\Rightarrow ta cần chứng minh:

\frac{a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}}{abc}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc} 

\Leftrightarrow a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

Thật vậy: a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\leqslant \frac{a(b+c)}{2}+\frac{b(c+a)}{2}+\frac{c(a+b)}{2} =ab+bc+ca\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

\Rightarrow a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

\Rightarrow Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emlaem21: 03-01-2014 - 20:44

[Le Thi Van Anh]

Tùy thôi miễn là tổng của 3 số không âm là được

chứ nếu a+b+c=1 thì a=b=c=1/3 cũng được à?

[Mori Ran]

bài thi toán QG ngày 2 :

Tìm max biểu thức với x,y,z là các số thực dương

 

$\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$

[Le Thi Van Anh]

Bài này có nhiều cách làm Mình xin nêu ra cách ngắn gọn nhất .

Chuẩn hóa :$a+b+c=3$

BĐT $< = > \sum \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Mặt khác ta lại có :$\frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2a+3}{25}< = > a^3+a^3+1\geq 3a^2$(Luôn đúng theo AM-GM 3 số)

$= > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$(đpcm)

 Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Chỗ này tắt quá không hiểu được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Thi Van Anh: 06-01-2014 - 19:56

[dotandung]

bài thi toán QG ngày 2 :

Tìm max biểu thức với x,y,z là các số thực dương

 

$\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$

tham khảo ở đây bạn nhé, nói thực mình cũng chẳng hiểu gì

http://www.vnmath.co...i-hoc-sinh.html

[dotandung]

1)$Cho$$x+y+xy$$=24$. Tìm GTNN$x^{2}+y^{2}$

2)$Cho$$x^2+y^2-xy=4$. TÌm GTLN và GTNN của$x^2+y^2$

[lahantaithe99]

1)$Cho$$x+y+xy$$=24$. Tìm GTNN$x^{2}+y^{2}$

2)$Cho$$x^2+y^2-xy=4$. TÌm GTLN và GTNN của$x^2+y^2$

1.

$x+y+xy=24\leq x+y+\frac{(x+y)^2}{4}\Rightarrow x+y\geq 8$

$\Rightarrow x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\geq \frac{8^2}{2}=32$

2.

$x^2+y^2-xy=4\geq 2xy-xy=xy$

$\Rightarrow x^2+y^2=4+xy\leq 4+4=8$

[dotandung]

Cho $x;y;z\geq 0$$thỏa$$x+y+z= 3$$Tìm min của$$\sum \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}$

[Le Thi Van Anh]

Cho $x;y;z\geq 0$$thỏa$$x+y+z= 3$$Tìm min của$$\sum \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}$

$\sum \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}= \sum \sqrt{\left ( x+y \right )^{2}-xy}\geq \sum \sqrt{\left ( x+y \right )^{2}-\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \sum \frac{\sqrt{3}}{2}\left ( x+y \right )= 3\sqrt{3}$

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ x=y=z=1

[backieuphong]

Cho x,y>0. Chứng minh $x+y+2\ge ~x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$

[BoY LAnH LuNg]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² =3

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}}$ + $\frac{b}{\sqrt{c}}$ + $\frac{c}{\sqrt{a}}$  $\geq$  a + b + c

[BoY LAnH LuNg]

các bạn giải cụ thể nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoY LAnH LuNg: 03-03-2014 - 21:14

[BoY LAnH LuNg]

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1

Tìm P_Min = $\frac{xy + yz + zx - xyz}{xy + yz + zx + xyz + 2}$

[BoY LAnH LuNg]

Cho a, b, c dương t/m a.b.c = 1 Tìm GTNN của

• B = $\frac{a³ + b³ + c³}{2abc}$   +   $\frac{a² + b²}{c² + ab}$   +  $\frac{b² + c²}{a² + bc}$   +   $\frac{c² + a²}{b² + ac}$
• C = $\frac{ab² + bc² + ca²}{ab + bc + ca^{2}}$               với a² + c² + b²  =1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoY LAnH LuNg: 03-03-2014 - 23:36

[backieuphong]

Cho a,b,c > 0 và $\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}\ge 1$ chứng minh $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi backieuphong: 12-03-2014 - 14:24

[canhhoang30011999]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² =3

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}}$ + $\frac{b}{\sqrt{c}}$ + $\frac{c}{\sqrt{a}}$  $\geq$  a + b + c

áp dụng bđt Cô-si ta có

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+ab\geq 3a$

Tương tự ta có $\sum 2\frac{a}{\sqrt{b}}\geq 3(a+b+c)-ab-bc-ca$

ta cần cm

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+3\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow (a+b+c-3)(a+b+c+1)\leq 0$

lai có $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= 3$

nên bđt luôn đúng

vậy ta có đpcm

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[lahantaithe99]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² =3

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}}$ + $\frac{b}{\sqrt{c}}$ + $\frac{c}{\sqrt{a}}$  $\geq$  a + b + c

Bài này bạn đã đăng [r bên này rồi mà!

Cách khác

http://diendantoanho...s-cao-xuân-huy/

[Con meo con]

Bài này, mọi người nhai hộ em 

Cho 2 số a,b thỏa mãn $a^2 + b^2 = 4a + 2b +540$

Tìm GTLN của biểu thức $P = 23a+4b+2013$

p/S: em sẽ    liền 

[phuongduy]

giúp mình bài này mình đần lắm
Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z} \leq xyz$.