Bài 1: Ta có:
\begin{equation} \label{eq:1} \tag{1.1} \sum_{cyc} \dfrac{a}{1+b^2}=\sum_{cyc} \left(\dfrac{a+ab^2}{1+b^2}-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\right) =\sum_{cyc} \left(a -\dfrac{ab^2}{1+b^2}\right) \end{equation}
Theo $AM - GM$: $$1+a^2\geqslant 2a$$ $$1+b^2\geqslant 2b$$ $$1+c^2 \geqslant 2c$$
Khi đó, ta có:
\begin{equation} \label{eq:2} \tag{1.2} \eqref{eq:1} \Rightarrow \sum_{cyc} \dfrac{a}{1+b^2} \geqslant \sum_{cyc} \left(a-\dfrac{ab}{2}\right)= a+b+c -\dfrac{ab+bc+ca}{2}=3-\dfrac{ab+bc+ca}{2} \end{equation}
Dễ thấy $\sum_{cyc} (a-b)^2 \geqslant 0$, khai triển và thu gọn ta được $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca \Leftrightarrow 9=(a+b+c)^2\geqslant 3\left(ab+bc+ca\right) \Rightarrow ab+bc+ca\leqslant 3$
Kết hợp với \eqref{eq:2} ta nhận được
\begin{equation} \tag{$\blacksquare$} \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geqslant \frac{3}{2} \end{equation}
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài 2: Ta có:
\begin{equation} \label{2.eq:1} \tag{2.1} \sum_{cyc} \dfrac{a+1}{1+b^2}=\sum_{cyc} \left(\dfrac{(a+1)(1+b^2)}{1+b^2}-\dfrac{b^2(a+1)}{1+b^2}\right) =\sum_{cyc} \left(a+1 -\dfrac{b^2(a+1)}{1+b^2}\right) \end{equation}
Theo $AM - GM$: $$1+a^2\geqslant 2a$$ $$1+b^2\geqslant 2b$$ $$1+c^2 \geqslant 2c$$
Khi đó, ta có:
\begin{equation} \label{2.eq:2} \tag{2.2} \eqref{2.eq:1} \Rightarrow \sum_{cyc} \dfrac{a+1}{1+b^2} \geqslant \sum_{cyc} \left(a+1-\dfrac{ab+b}{2}\right)= \dfrac{a+b+c}{2} +3 -\dfrac{ab+bc+ca}{2}=3+\dfrac{a+b+c-ab-bc-ca}{2} \end{equation}
Dễ thấy $\sum_{cyc} (a-b)^2 \geqslant 0$, khai triển và thu gọn ta được $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca \Leftrightarrow 3(a+b+c)=(a+b+c)^2\geqslant 3\left(ab+bc+ca\right) \Rightarrow a+b+c \geqslant ab+bc+ca$Kết hợp với \eqref{2.eq:2} ta nhận được
\begin{equation} \tag{$\blacksquare$} \frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}}\geqslant 3 \end{equation}
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Cho mình hỏi thêm chút xíu!Bạn có biết tài liệu nào về sử dụng bất đẳng thức Cô-si và Bu-nhi-a-cốp-xki không ?
