Chủ đề này có 1205 trả lời

[Lin Kon]

Cho $a,b,c>0$.CMR:

$\frac{a}{3a^2+2b^2+c^2}+\frac{b}{3b^2+2c^2+a^2}+\frac{c}{3c^2+2a^2+b^2}\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

[hoctrocuaHolmes]

Cho $a,b,c>0$.CMR:

$\frac{a}{3a^2+2b^2+c^2}+\frac{b}{3b^2+2c^2+a^2}+\frac{c}{3c^2+2a^2+b^2}\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Ta có

$\frac{a}{3a^2+2b^2+c^2}=\frac{a}{2(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+c^{2})}\leq \frac{a}{4ab+2ac}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2b+c})=\frac{1}{2}(\frac{1}{b+b+c})\leq \frac{1}{18}(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{18}(\frac{2}{b}+\frac{1}{c})$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có 

$\frac{a}{3a^2+2b^2+c^2}+\frac{b}{3b^2+2c^2+a^2}+\frac{c}{3c^2+2a^2+b^2}\leq\frac{1}{18}(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})=\frac{1}{6}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(đpcm)$

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c$

[ElNino91]

Mọi người giải hộ em bài bđt. Cho a,b,c>0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$.  Chứng minh rằng

 $ \frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ElNino91: 23-08-2015 - 22:13

[royal1534]

Mọi người giải hộ em bài bđt. Cho a,b,c>0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$.  Chứng minh rằng

 $ \frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

Đặt $a=\frac{1}{x}$; $b=\frac{2}{y}$; $c=\frac{3}{z}$

$\Rightarrow$ $x+y+z=3$

Thế $a=\frac{1}{x}$; $b=\frac{2}{y}$; $c=\frac{3}{z}$ vào ta có :

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow$ $\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}$+$\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}$+$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}$ $\geq$ $\frac{3}{2}$

Đây là bđt quen thuộc.Áp dụng kĩ thuật Côsi ngược dấu ta có:$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}$=$x-\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$\geq$ $x-\frac{xy^{2}}{2xy}$=$x-\frac{y}{2}$

Xây dựng các bđt thức tương tự.Ta có:

$\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}$+$\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}$+$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}$$\geq$$x+y+z-\frac{x+y+z}{2}$=$\frac{3}{2}$ ($Chú$ $ý$ $x+y+z=3$)

$\Rightarrow$ $ĐPCM$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 23-08-2015 - 23:37

[hoduchieu01]

$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} +  \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}   \leq  \frac{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 26-08-2015 - 11:25

[Element hero Neos]

Bài 1 dấu "=" xảy ra khi nào?

[Element hero Neos]

$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} +  \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}   \leq  \frac{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$ 

Bài này dùng C.B.S dạng cộng mẫu là ra!

[hoduchieu01]

Cộng mẫu như thế nào

[Element hero Neos]

 

 

Tại sao $\frac{a}{4ab+2ac}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2b+c})$

[Element hero Neos]

Cộng mẫu như thế nào

Mình nhầm!

[hoduchieu01]

Bạn giải bài đấy mình xem vs

[Nguyenhuyen_AG]

$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} +  \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}   \leq  \frac{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$ 

 

Vì

\[\frac{(a+b+c)(a^2+b^2)}{a+b} = a^2+b^2+c(a+b)-\frac{2abc}{a+b}.\]

Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[a^2+b^2+c^2+2abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right) \geqslant 2(ab+bc+ca).\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Schur.

[anticp2015]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{3a-b+c}+\frac{b}{3b-c+a}+\frac{c}{3c-a+b}\geq 1$

[hoangyenmn9a]

Theo đề bài là a, b, c. Nhưng khi tìm GTNN lại là x, y, z. Bạn viết nhầm rồi!

 

Bài 9:(THCS) Cho $a,b,c \geq 1$ thỏa mãn $a+b+c=5$. CMR :$ P=\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2} > \dfrac{10}{19}.$
Bài 10:(THCS) Với $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác. CMR: $\dfrac{a}{\sqrt[3]{b^{3}+c^{3}}}+ \dfrac{b}{\sqrt[3]{a^{3}+c^{3}}}+ \dfrac{c}{\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}}<2\sqrt[3]{5}$

Bài 11(THPT): cho $ x,y,z>0$ và $x^5y^5+y^5z^5+x^5z^5=x^{5}y^{5}z^{5}$. CMR:

$3(\dfrac{y^5(x+z)^3}{x^4z^4}+\dfrac{z^5(x+y)^3}{x^4y^4}+\dfrac{x^5(y+z)^3}{y^4z^4})\leq 4(\dfrac{y^{10}z^5}{x^5}+\dfrac{z^{10}x^5}{y^5}+\dfrac{x^{10}y^5}{z^5})-24$

Các bài của THCS được ghi bên cạnh là chữ THCS, bài toán của THPT được ghi là THPT .
Rất mong các bạn post bài toán lên topic để mọi người cùng giải. Những công thức mình post có thể được dùng trực tiếp , nhưng khi đi thi thì ko thể được đâu mà phải chứng mình nó, trừ 2 BĐT là cô si và Bunhi

cho a,b,c, là các số thực dương chứng minh $\sqrt{a^{2}+(1-b)^2} + \sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\geqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangyenmn9a: 27-08-2015 - 19:26

[Truong Gia Bao]

cho a,b,c, là các số thực dương chứng minh $\sqrt{a^{2}+(1-b)^2} + \sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\geqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp -xki có:$\sqrt{a^2+(1-b)^2}\geq \frac{a+1-b}{\sqrt{2}}$

Tương tự ta có $VT\geq \frac{a+1-b+b+1-c+c+1-a}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\rightarrow$ đpcm

Tớ buồn quá Yến ơi

[hoduchieu01]

Dùng bdt schur nhu thế nào vậy bạn

[hoangyenmn9a]

Dùng bdt schur nhu thế nào vậy bạn

bài nào vậy bạn?

[hoduchieu01]

Bài bdt ở trang trc í bạn bài mình đăng có phân số 3 biến

[hoangyenmn9a]

Bài bdt ở trang trc í bạn bài mình đăng có phân số 3 biến

cho mình xin cái link đi

[hoduchieu01]

Ở trong mục này nhưng trang trc đó bạn mình đg dùng đt