Chủ đề này có 1205 trả lời

[tpdtthltvp]

Tìm min của: $\frac{a^{2}+b^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Với a$\neq$b ,a,b>0

http://diendantoanho...b2fracabfracba/

[satoh]

Giải giúp em hai bài này ạ.

 

Bài 1: Cho 2 số thực x, y (x+y khác 0). CMR: $x^2+y^2+\left ( \frac{1+xy}{x+y} \right )^2\geq 2$

Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm GTNN của: $P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$

[ViLQD03]

Ai giúp vs

Cho x,y,z>0. CMR:

P= $\frac{2xy}{(z+x)(z+y)} + \frac{2yz}{(x+y)(x+z)} + \frac{3zx}{(y+z)(y+x)} \geq \frac{5}{3}$

[CaoHoangAnh]

Ai giúp vs

Cho x,y,z>0. CMR:

P= $\frac{2xy}{(z+x)(z+y)} + \frac{2yz}{(x+y)(x+z)} + \frac{3zx}{(y+z)(y+x)} \geq \frac{5}{3}$

Phần màu đỏ là 2 ak bn

[hoakute]

Bài 2:(THCS) Với $a,b,c >0$ . Tìm GTNN của :$ P=\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}$

 

mình xin được bổ sung một bài có lẽ cũng khá quen thuộc :

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=ab+bc+ac

Chứng minh $\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}> \frac{3}{16}$

[lenadal]

mình xin được bổ sung một bài có lẽ cũng khá quen thuộc :

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=ab+bc+ac

Chứng minh $\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}> \frac{3}{16}$

Bài này bạn có thể áp dụng bất đẳng thức sau

$\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq \frac{1}{x+y}$ với$x;y>o$

[ViLQD03]

Phần màu đỏ là 2 ak bn

ờ minh` cũng nghĩ là 2 nhưng trong đề họ ghi vậy nên chịu

[MATH EVIL]

Các bạn giúp mình bài này với : Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a² + b² + c² = 3. Chứng minh rằng: a + b + c -abc <4

[CaoHoangAnh]

Các bạn giúp mình bài này với : Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a² + b² + c² = 3. Chứng minh rằng: a + b + c -abc <4

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq 1$ $\Rightarrow -abc\geq 1$

Mặt khác Áp dụng BĐT AM-GM ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow a+b+c \geq 3$ 

$\Rightarrow a+b+c-abc \geq 4$

[HoaiBao]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq 1$ $\Rightarrow -abc\geq 1$

Mặt khác Áp dụng BĐT AM-GM ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow a+b+c \geq 3$ 

$\Rightarrow a+b+c-abc \geq 4$

a,b,c chưa dương

[tran2b7i0n3h]

Cho a,b,c>0.t/m a+b+c=3

Chứng minh:

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$ 

                                 ( hsg tỉnh Nghệ An 2016)

[NTA1907]

Cho a,b,c>0.t/m a+b+c=3

Chứng minh:

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$ 

                                 ( hsg tỉnh Nghệ An 2016)

Áp dụng kĩ thuật AM-GM ngược ta có:

$a-\frac{a+1}{b^{2}+1}=\frac{ab^{2}-1}{b^{2}+1}\leq \frac{ab^{2}-1}{2b}=\frac{ab}{2}-\frac{1}{2b}$

$\Leftrightarrow \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \sum a-\sum \frac{ab}{2}+\sum \frac{1}{2b}\geq 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}+\frac{1}{2}.\frac{9}{a+b+c}=3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

[lenadal]

Cho a,b,c>0.t/m a+b+c=3

Chứng minh:$\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}=\sum \frac{(a+1)(b^{2}+1)-b^{2}(a+1)}{b^{2}+1}$        ( hsg tỉnh Nghệ An 2016)

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+a+1-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{ab^{2}+b^{2}}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

CMTT với 2 số còn lại 

Sau đó ta được biểu thức đã cho $\geq a+b+c+3-\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{2}$

Mà $ab+bc+ca\leq (a+b+c)^{2}/3=3$

=> ĐPCM

[olympiachapcanhuocmo]

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ ab+bc+ca> 0 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{10}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

[MATH EVIL]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq 1$ $\Rightarrow -abc\geq 1$

Mặt khác Áp dụng BĐT AM-GM ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow a+b+c \geq 3$ 

$\Rightarrow a+b+c-abc \geq 4$

Đề bài là chứng minh a+b+c - abc < 4. Nên kết luận sai

[unbelievable]

Giải giúp em bài này với nha:

Cho $a^2+b^2+c^2=1$

C/m:

$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\geq 1$

[MATH EVIL]

Giải giúp em hai bài này ạ.

 

Bài 1: Cho 2 số thực x, y (x+y khác 0). CMR: $x^2+y^2+\left ( \frac{1+xy}{x+y} \right )^2\geq 2$

Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm GTNN của: $P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$

Bài 1 :

Ta có : ( x² + y² + 2xy ) - 2xy + $\frac{(1+xy)^{2}}{(x+y)^{2}}$ đặt bằng A

Áp dụng BĐT AM - GM : $(x+y)^{2} + \frac{(1+xy)^{2}}{(x+y)^{2}} \geq 2+2xy$

$A - 2xy \geq 2 + 2xy - 2xy = 2$   (đpcm)

Dấu''='' xảy ra khi x=0 ; y=1 hoặc x=1 ; y=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MATH EVIL: 03-04-2016 - 16:04

[Tran Thanh Truong]

Giải giúp em bài này với nha:

Cho $a^2+b^2+c^2=1$

C/m:

$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\geq 1$

Sai đề rồi bạn !

[manh nguyen truc]

$cho      a;b;c;x;y;z > 0 chứng    minh    rằng   A= ax+by+cz+\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)(x+y+z)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manh nguyen truc: 12-04-2016 - 00:14

[nqt123]

1. cho a,b,c $> 0$ thỏa mãn a+b+c=4.CMR:

$\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq a^{3}b^{3}c^{3}$

2 .Cho a,b,c $> 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=4$ CMR

                                   a+b+c+ab+bc+ca $\geq 1+\sqrt{3 }$