Chủ đề này có 1205 trả lời

[NHoang1608]

1) Đặt $(x,y,z)=(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$. Khi đó $xyz=1, (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=x+y+z+xy+yz+zx+3$

Bất đẳng thức tương đương: $(x+y+z)^{2}\geq x+y+z+xy+yz+zx+3$

                                          $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx\geq 3+(x+y+z)$  $(1)$

Mặt khác $xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=3$

              $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geq (x+y+z)\sqrt[3]{xyz}=x+y+z$

Suy ra bất đẳng thức $(1)$ đúng hay ta có ĐPCM

[viet9a14124869]

1. Cho 3 số  dưeơng a,b,c. CMR: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

2. Cho các só thực x,y, z thỏa mãn điều kiện: x² +y² +z²=1. Tìm GTLN của A=xy+yz+2xz

3. Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [-2;5] tm: a+2b+3c$\leq$2. Tìm GTLN: a²+2b²+3c²

4. Cho a,b,c>0 tm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=1. CMR:$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Bài 2 , Ta có $\left\{\begin{matrix} xy\leq \frac{\sqrt{3}-1}{2}x^2+\frac{1}{2\sqrt{3}-2}y^2 & & \\ yz\leq \frac{\sqrt{3}-1}{2}z^2+\frac{1}{2\sqrt{3}-2}y^2 & & \\ 2xz\leq x^2+z^2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xy+yz+2zx\leq \frac{\sqrt{3}+1}{2}(x^2+y^2+z^2)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\Leftrightarrow x=z=\frac{\sqrt{3}+1}{2}y\Leftrightarrow .........$

Bài 3 , $-2\leq a\leq 5\Leftrightarrow a^2\leq 3a+10 \Rightarrow ..... \Rightarrow a^2+2b^2+3c^2\leq (3a+10)+2(3b+10)+3(3c+10)=3(a+2b+3c)+60\leq  66\Leftrightarrow a=-2,b=5,c=-2$

Bài 4 , Chắc là dùng $\frac{a^2}{a+bc}=a-\frac{abc}{a+bc}$ rồi dùng AM-GM ở mẫu

[NHoang1608]

Bài 4 , Chắc là dùng $\frac{a^2}{a+bc}=a-\frac{abc}{a+bc}$ rồi dùng AM-GM 

Nếu sử dụng $AM-GM$ dưới mẫu sẽ không thỏa mãn dấu bằng vì $a=b=c=3$ mà.

[viet9a14124869]

Nếu sử dụng $AM-GM$ dưới mẫu sẽ không thỏa mãn dấu bằng vì $a=b=c=3$ mà.

Bạn tách ra $a+bc=a+\frac{bc}{3}+\frac{bc}{3}+\frac{bc}{3}$ rồi dùng AM-GM  là OK

[TrBaoChis]

1. Cho 3 số dương a,b,c. CMR: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

2. Cho các só thực x,y, z thỏa mãn điều kiện: x² +y² +z²=1. Tìm GTLN của A=xy+yz+2xz

3. Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [-2;5] tm: a+2b+3c$\leq$2. Tìm GTLN: a²+2b²+3c²

4. Cho a,b,c>0 tm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=1. CMR:$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

bài 4 từ gt suy ra ab+bc+ca=abc
thay vào bài sigma a^2/(a+bc) = sigma a^3/(a^2+abc)= sig ma a^3/(a+b)(a+c) 
đến đây amgm 
a^3/(a+b)(a+c) + a+b/8 +b+c/8

[AnhTran2911]

bài 4 từ gt suy ra ab+bc+ca=abc
thay vào bài sigma a^2/(a+bc) = sigma a^3/(a^2+abc)= sig ma a^3/(a+b)(a+c) 
đến đây amgm 
a^3/(a+b)(a+c) + a+b/8 +b+c/8

Để tránh spam và làm mất đẹp topic, rất mong bạn sử dụng latex trong mỗi bài viết của mình. Thân.

[haccau]

bài 4 từ gt suy ra ab+bc+ca=abc
thay vào bài sigma a^2/(a+bc) = sigma a^3/(a^2+abc)= sig ma a^3/(a+b)(a+c) 
đến đây amgm 
a^3/(a+b)(a+c) + a+b/8 +b+c/8

Viết lại giúp mình dễ hiểu nha bạn. Cảm ơn nhiều

[TrBaoChis]

Viết lại giúp mình dễ hiểu nha bạn. Cảm ơn nhiều

$THEO$ $Ý$ $BẠN$

$\sum$ $\frac{a^2}{a+bc}$ = $\sum$ $\frac{a^3}{a^2+abc}$ = $\sum$ $\frac{a^3}{ab+bc+ca+a^2}$ = $\sum$ $\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}$

$theo$ $AM-GM$ : $\sum$ $\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}$ + $\sum$ $\frac{a+b}{8}$ + $\sum $ $\frac{a+b}{8}$ $\geq $ $3$ $\sum$ $\frac{a}{4}$ 

$ \rightarrow$ $\sum $ $\frac{a^2}{a+bc}$ $\geq$ $\frac{a+b+c}{4}$  

đúng thì like

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 21-04-2017 - 17:25

[AnhTran2911]

Nhờ mọi người làm giúp ạ:

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3

CMR : $\sum\frac{a}{b+c^2}\geq\frac{3}{2}$

[canletgo]

Mọi người làm hộ mk bài này với...cảm ơn nhiều 

Cho a, b, c và a + b + c $\leq$ 1

CMR: $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{82}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 10-05-2017 - 21:10

[05479865132]

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn (a+b)(a+c)=1.Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)abc(a+b+c)$\leq \frac{1}{4}$

b)a(ab+bc+ca)$\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 05479865132: 11-05-2017 - 23:11

[maimaipham]

mình học kém toán lắm bạn nào giải giúp mình nhé, chi tiết để mình còn hiểu:

a) với a, b là các số dương. cmr: a+b trên ab > hoặc = 4 trên a+b

b) cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=4. cmr 1 trên xy + 1 trên xz > hoặc = 1

[canletgo]

help meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee !!!

tìm min: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ 

với 0 < x < 1

[Cuongpa]

help meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee !!!

tìm min: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ 

với 0 < x < 1

Ta có: 

$y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}=\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}+3\geq 3+2\sqrt{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} 2x^2=(1-x)^2\\ 0<x<1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-1$

 

Có cần phải đăng ở 2 chỗ luôn không bạn

[manhhung2013]

Ta có: 

$y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}=\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}+3\geq 3+2\sqrt{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} 2x^2=(1-x)^2\\ 0<x<1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-1$

 

Có cần phải đăng ở 2 chỗ luôn không bạn

Ờ m được lắm.

 

Đóng góp cho topic một bài:

CMR với mọi a,b ,c>0:

$\frac{a}{\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b^{3}+c^{3}}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c^{3}+a^{3}}}\leqslant \frac{3}{\sqrt[3]{2}}$

[05479865132]

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z$\leq$3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

[man2008]

Các bạn giúp mình với :

Cho a,b,c dương. chứng minh :

a.$\frac{a^{5}}{b^{3}}+\frac{b^{5}}{c^{3}}+\frac{c^{5}}{a^{3}}\geq \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}$

 

b. $\frac{a^{5}}{b^{2}}+\frac{b^{5}}{c^{2}}+\frac{c^{5}}{a^{2}}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

 

Chỉ sử dung phép biến đổi tương đương và bất đẳng thức phụ $a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+ a^{n}b^{m}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi man2008: 19-05-2017 - 17:05

[manhhung2013]

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z$\leq$3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

 

 

Áp dụng BĐT:$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}\Rightarrow \sum \left( \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{2x} \right )+(2-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leqslant \sqrt{2}((x+1)+(y+1)+(z+1))+(2-\sqrt{2})(\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2})\leqslant 6\sqrt{2}+3(2-\sqrt{2})=6+3\sqrt{2}$

Dấu = khi x=y=z=1

[haccau]

1. Cho a, b, c dương thỏa: 6a+3b+2c=abc. Tìm GTLN: $B=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{2}{\sqrt{b^{2}+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^{2}+9}}$

2. Cho các số a,b,c không âm. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}} \geq 2(ab+bc+ca)$

[AnhTran2911]

1. Cho a, b, c dương thỏa: 6a+3b+2c=abc. Tìm GTLN: $B=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{2}{\sqrt{b^{2}+4}}+\frac{3}{\sqrt{c^{2}+9}}$

2. Cho các số a,b,c không âm. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}} \geq 2(ab+bc+ca)$

Cái đầu chuyển từ $( a,b,c)\rightarrow(\frac{1}{a}; \frac{2}{b};\frac{3}{c})$ Đc bài toán quen thuộc

Cái thứ hai dùng Schur dạng pthức $\sum{a^2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq2\sum{ab}$