Chủ đề này có 1205 trả lời

[quanghao98]

bạn có thể sử dụng bổ đề sau:

 

1)$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}$ $\geq$ $\frac{4a}{3a+b}$=$\frac{4a^2}{3a^2+ab}$

 

2)$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

VT=$\sum_{cyc}^{a,b,c}\sqrt{\frac{2a}{a+b}}\geq \sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{4a^2}{3a^2+ab}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ac}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$

 

 

$\Rightarrow Q.E.D$

 

 

 

 

 

[missgrass]

công thức khó đánh quá!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi missgrass: 11-11-2013 - 10:24

[missgrass]

tìm GTLN:

$\frac{y\sqrt{x-503}+x\sqrt{y-504}}{xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi missgrass: 11-11-2013 - 13:40

[quanghao98]

tìm GTNN:

$\frac{y\sqrt{x-503}+x\sqrt{y-504}}{xy}$

$Min=0$,khi $x=503,y=504$,bạn đặt điều kiện rồi đánh giá là ra thôi

[missgrass]

xin lỗi, mình nhầm. Tìm max chứ ko phải min!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi missgrass: 11-11-2013 - 13:42

[quanghao98]

tìm GTLN:

$\frac{y\sqrt{x-503}+x\sqrt{y-504}}{xy}$

$y\sqrt{x-503}=\dfrac{y}{\sqrt{503}}\sqrt{(x-503)503}\leq \dfrac{y}{\sqrt{503}}.\dfrac{x-503+503}{2}=\dfrac{xy}{2\sqrt{503}}$.Bằng một lập luận tương tự:

 

$x\sqrt{y-504}\leq \dfrac{xy}{2\sqrt{504}}$

 

$\rightarrow Max=\dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{\sqrt{503}}+\dfrac{1}{\sqrt504{}})$

 

$đẳng thức xảy ra:x=2.503=1006;y=2.504=1008$

[Phuong Thu Quoc]

 

Chứng mình rằng:
$\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{a+c} \geq \dfrac{9}{a+b+c}$

 

VT$\dpi{100} =2\left ( \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right )\geq 2.\frac{9}{\left ( a+b \right )+\left ( b+c \right )+\left ( c+a \right )}= \frac{9}{a+b+c}$

[KyleSweater99]

Ai giúp tôi với..cần gấp

1. Cho S= $a^{2}+b^{2} +c^{2} +d^{2} +ac+bd, biết ad-bc=1$.

a) Chứng minh S $\geq \sqrt{3}$

b) Tính $(a+c)^{2}+(b+d)^{2} khi S=\sqrt{3}$

2.Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn x+y+z=32.Tìm giá trị lớn nhất của S= 20xy+11yz+2013zx

[Rias Gremory]

Ai giúp tôi với..cần gấp

1. Cho S= $a^{2}+b^{2} +c^{2} +d^{2} +ac+bd, biết ad-bc=1$.

a) Chứng minh S $\geq \sqrt{3}$

b) Tính $(a+c)^{2}+(b+d)^{2} khi S=\sqrt{3}$

2.Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn x+y+z=32.Tìm giá trị lớn nhất của S= 20xy+11yz+2013zx

Câu 1,

a, 

Ta có : $(ad-bc)^{2}+(ac+bd)^{2}=a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-2abcd+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

Từ giả thiết ta có :

$1+(ac+bd)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có : $(a^{2}+b^{2})+(c^{2}+d^{2})\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$

Do đó : $S\geq ac+bd+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$

$S\geq (ac+bd)+2\sqrt{1+(ac+bd)^{2}}$

Dễ thấy $S> 0$

Đặt $x=ac+bd\Rightarrow S\geq x+2\sqrt{1+x^{2}}$

$S^{2}\geq x^{2}+4(1+x^{2})+4x.\sqrt{1+x^{2}}=(\sqrt{1+x^{2}}+2x)^{2}+3\geq 3$

Do đó $S> \sqrt{3}$ (ĐPCM)

[NMDuc98]

Hãy khởi động topic và forum BDT nào:
Bài 18: (THCS) Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$ A=ab+2bc+3ac.$

Bài 19: (THCS) CMR: $(\dfrac{4a}{b+c}+1)(\dfrac{4b}{a+c}+1)(\dfrac{4c}{a+b}+1)>25$

Bài 20: (THPT).Với $a,b,c$ la các số hữu tỉ. CMR:
$ (1+\dfrac{b-c}{a})^{a}+(1+\dfrac{c-a}{b})^{b}+(1+\dfrac{a-b}{c})^{c} \leq 1$

Bài 21 (THCS): Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$. Tìm GTLN:
$A=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Bài 22( THPT): CMR:
$2(\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}})$ $\geq \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+ca+a^{2}}$

P\s: ai làm bài nào thì phải trích nguyên văn bài đó ra cho dễ nhìn nhé.

Bài 21:

Áp dụng các BĐT sau: 

$a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)};a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Dấu"=" xảy ra <=> $a=b=c$

Ta có:

$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\leq \sqrt{2(1+x^2+2x)}=\sqrt{2}(x+1)$             (1)

Tương tự ta có:

$\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\leq \sqrt{2}(y+1)$                     (2)

$\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\leq \sqrt{2}(z+1)$                       (3)

Ta lại có:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3(x+y+z)}$

$<=>3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq 3\sqrt{3(x+y+z)}$       (4)

Cộng vế theo vế (1),(2),(3) và (4) ta được:

$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}+\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq\sqrt{2}(x+1)+\sqrt{2}(y+1)+\sqrt{2}(z+1)+3\sqrt{3(x+y+z)}$

$<=>\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq 3\sqrt{2}+9$

Dấu "=" xảy ra <=>$ x=y=z=1$

=>Max A = $3\sqrt{2}+9$ đạt được <=> $x=y=z=1$

[Le Thi Van Anh]

Với a,b>0 cho trước và x,y>0 thay đổi sao cho : $\frac{a}{x}$ + $\frac{b}{y}$=1. Tìm x,y để x+y đạt min

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Thi Van Anh: 14-11-2013 - 17:35

[Phuong Thu Quoc]

Theo BĐT Bunhiacopxki và kết hợp giả thiết

Ta có $\dpi{100} x+y= \left ( x+y \right )\left ( \frac{a}{x}+\frac{b}{y} \right )\geq \left ( \sqrt{x}.\sqrt{\frac{a}{x}} +\sqrt{y}.\sqrt{\frac{b}{y}}\right )^{2}=\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )^{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\dpi{100} \frac{x}{\sqrt{a}}= \frac{y}{\sqrt{b}}$

Từ đó tìm được $\dpi{100} x=a+\sqrt{ab},y=b+\sqrt{ab}$

 

*Có thể thay giả thiết bằng $\dpi{100} \frac{a}{x}+\frac{b}{y}=a$ với a là số thực dương bất kì

[nghiemthanhbach]

Cho a,b,c dương. Chứng minh $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$

Bài này bạn có nhầm topic không nhỉ, bài này khá khó đấy    

Đầu tiên ta sẽ biến đổi $VT$ trước:

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức C-S ta có:

$\sum \frac{a^2}{\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}+\sqrt{\frac{b^3(b+c)}{2}}+\sqrt{\frac{c^3(c+a)}{2}}}$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau:

$\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}+\sqrt{\frac{b^3(b+c)}{2}}+\sqrt{\frac{c^3(c+a)}{2}}\leq a^2+b^2+c^2$

Thật vậy ta lại có:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\sqrt{\frac{a^3)a+b}{2}}=\sqrt{\frac{a^2(a^2+ab)}{2}}\leq \frac{3a^2+ab}{4}$

Chứng minh tương tự với các thành phần còn lại và từ các điều trên ta suy ra:

$\sum \sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}{4}\leq \sum a^2$

Kết hợp với phân biến đổi tương đương $VT$ ta đương nhiên có:$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum \sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\rightarrow Q.E.D$

               

[vutuanhien]

Bài này bạn có nhầm topic không nhỉ, bài này khá khó đấy    

Đầu tiên ta sẽ biến đổi $VT$ trước:

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức C-S ta có:

$\sum \frac{a^2}{\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}+\sqrt{\frac{b^3(b+c)}{2}}+\sqrt{\frac{c^3(c+a)}{2}}}$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau:

$\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}+\sqrt{\frac{b^3(b+c)}{2}}+\sqrt{\frac{c^3(c+a)}{2}}\leq a^2+b^2+c^2$

Thật vậy ta lại có:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\sqrt{\frac{a^3)a+b}{2}}=\sqrt{\frac{a^2(a^2+ab)}{2}}\leq \frac{3a^2+ab}{4}$

Chứng minh tương tự với các thành phần còn lại và từ các điều trên ta suy ra:

$\sum \sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}{4}\leq \sum a^2$

Kết hợp với phân biến đổi tương đương $VT$ ta đương nhiên có:$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum \sqrt{\frac{a^3(a+b)}{2}}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\rightarrow Q.E.D$

               

$\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}=\sum \frac{2a}{\sqrt{2a(a+b)}}\geq \sum \frac{4a}{3a+b}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{3\sum a^2+\sum ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$

Thế này thôi có gì khó đâu...

[Le Thi Van Anh]

Cho a,b>0 thoả mãn; $\left\{\begin{matrix} 2a+3b\leq 6 & \\ 2a+b\leq 4 & \end{matrix}\right.$

Tìm min,max của: P=a²-2a-b

[minh8x]

Cảm ơn các bạn. Nhân tiện cho mình hỏi 1 bài nữa. bài này mình làm đc rồi, nhưng phải biến đổi khá dài. Ko biết có cách nào hay hơn ko

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm Min của:

$A = \frac {1}{x+y+z} - \frac {2}{xy+yz+zx}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minh8x: 18-11-2013 - 09:10

[25 minutes]

Cảm ơn các bạn. Nhân tiện cho mình hỏi 1 bài nữa. bài này mình làm đc rồi, nhưng phải biến đổi khá dài. Ko biết có cách nào hay hơn ko

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm Min của:

$A = \frac {1}{x+y+z} - \frac {2}{xy+yz+zx}$

Bài này đâu biến đổi dài đâu

Áp dụng AM-GM ta có $xy+yz+zx \geqlant \sqrt{3xyz(x+y+z)}=\sqrt{3(x+y+z)}$

          $\Rightarrow A\geqslant \frac{1}{x+y+z}-\frac{2}{\sqrt{3(x+y+z)}}$

Dự đoán GTNN đạt được khi $x=y=z=1$ nên ta chỉ cần chứng minh 

                               $\frac{1}{x+y+z}-\frac{2}{\sqrt{3(x+y+z)}}\geqslant \frac{-1}{3}$

            $\Leftrightarrow (\frac{1}{\sqrt{x+y+z}}-\frac{1}{\sqrt{3}})^2\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

[Cao thu]

Ai giúp mình bài này với, cần gấp 

Cho a,b,c>0 thoả  mãn abc=1. Tìm Giá trị lớn nhất của :

$\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}$

[zaconliza]

Giải giúp em bài này với 

Cho a>0 b>0 c>0 a+b+c=1

Tìm GTNN của P = (1+a²)(1+b²)(1+c²)

[4869msnssk]

Ai giúp mình bài này với, cần gấp 

Cho a,b,c>0 thoả  mãn abc=1. Tìm Giá trị lớn nhất của :

$\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}$

dấu "=" xayr ra khi nào ấy nhỉ