Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng : $\sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}(\sqrt{a}.\sqrt{b+c}+\sqrt{b}.\sqrt{a+c}+\sqrt{c}.\sqrt{a+b})\geqslant (a^3+b^3+c^3)^2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sqrt{a}.\sqrt{b+c}+\sqrt{b}.\sqrt{a+c}+\sqrt{c}.\sqrt{a+b}}$
Áp dụng tiếp Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có
$\sqrt{a}.\sqrt{b+c}+\sqrt{b}.\sqrt{a+c}+\sqrt{c}.\sqrt{a+b} \leqslant \sqrt{(a+b+c)(b+c+a+c+a+b)}=\sqrt{2}(a+b+c)$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sqrt{2}(a+b+c)}\geqslant \frac{\left [ \frac{(a+b+c)^3}{9} \right ]^2}{\sqrt{2}(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^5}{81\sqrt{2}}$
Lại có $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geqslant \frac{3^5}{81\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$