Chủ đề này có 1205 trả lời

[4869msnssk]

cmr với các số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{c}{a+b}$

[25 minutes]

cmr với các số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{c}{a+b}$

Dễ thấy $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 3$

Vì thế cho $a=b\rightarrow 0,c\rightarrow +\infty \Rightarrow \sum \frac{c}{a+b}\rightarrow +\infty$

BĐT đã cho sai !!!

[Phuong Thu Quoc]

cmr với các số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{c}{a+b}$

Nhầm dấu thì phải. Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\leq \sum \frac{c}{a+b}$

Giả sử $a\leq b\leq c$

Khi đó $\left ( a,b,c \right ),\left ( \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b} \right )$ là 2 bộ đơn điệu

AD BĐT hoán vị ta có ngay đpcm

[Trang Luong]

Chứng minh với mọi $a;b;c>0$ thì:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

[25 minutes]

 

Chứng minh với mọi $a;b;c>0$ thì:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

 

Trước hết ta sẽ chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$   (1)

Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc, có thể tham khảo tại

Trở lại bài toán, áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

    $(\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}})(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})\geqslant 9$   (2)

Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}$

Vậy $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}\geqslant 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

[25 minutes]

Nhầm dấu thì phải. Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\leq \sum \frac{c}{a+b}$

Giả sử $a\leq b\leq c$

Khi đó $\left ( a,b,c \right ),\left ( \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b} \right )$ là 2 bộ đơn điệu

AD BĐT hoán vị ta có ngay đpcm

Đây không phải là bất đẳng thức hoán vị vòng quanh nên không thể xét $a \geqslant b \geqslant c$ được

Nói cách khác, còn tùy vào các giá trị $a,b,c$ thì mới xét được dấu bất đẳng thức

[Trang Luong]

Trước hết ta sẽ chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$   (1)

Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc, có thể tham khảo tại

Trở lại bài toán, áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

    $(\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}})(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})\geqslant 9$   (2)

Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}$

Vậy $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}\geqslant 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

Cái này chứng minh như thê nào ạ 

[Le Thi Van Anh]

Cho a,b,c >0 thoả mãn: a$^{2}$ + b$^{2}$ +c$^{2}$=3.Chứng minh:

$\frac{a}{a^{2}+2b+3}$+$\frac{b}{b^{2}+2c+3}$+$\frac{c}{c^{2}+2a+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$

 

 

 

[Le Thi Van Anh]

Cho a,b,c>0 thoả mãn: abc=1. C/m:

 

$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}$+$\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}$+$\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}$$\geq$$\frac{1}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Thi Van Anh: 09-12-2013 - 15:59

[25 minutes]

Cho a,b,c >0 thoả mãn: a$^{2}$ + b$^{2}$ +c$^{2}$=3.Chứng minh:

$\frac{a}{a^{2}+2b+3}$+$\frac{b}{b^{2}+2c+3}$+$\frac{c}{c^{2}+2a+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$

Tham khảo tại đây

[Master Key 99]

CMR:   a$_{}$na$_{}$n-1........................a$_{}$2a$_{}$1$/$$a_{}$n+a$_{}$n-1+.......+a$_{}$2+a$_{}$1$\leqslant$10$^{}$n-1 với n$\epsilon$N, n$\leqslant$2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Master Key 99: 05-12-2013 - 14:21

[Le Thi Van Anh]

Cho a,b,c>0 thoả mãn: abc=1. C/m:

 

$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}$+$\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}$+$\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}$$\geq$$\frac{1}{a+b+c}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

 

$\left ( \sum \sqrt{a}.\frac{\sqrt{a}}{ab+b+1} \right )^{2}$$\leq$$\left ( \sum a \right )\left ( \sum \frac{a}{(ab+b+1)^{2}} \right )$

 

Mặt khác: $\sum \frac{a}{ab+b+1}= 1$ (vì abc=1)

 

Do đó:$\frac{1}{a+b+c}\leq \sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}$ (đpcm)

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$a=b=c=1

[rohupt]

Cho $a, b, c > 0.$ Cmr $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{a^2 + b^2 + c^2}} \geq 3 + \sqrt{3}$

[Le Thi Van Anh]

Cho a $\geq$ 4, b $\geq$ 5, c$\geq$ 6 thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 90$

CMR: a+b+c$\geq$ 16

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Thi Van Anh: 11-12-2013 - 08:32

[Le Thi Van Anh]

Cho a,b,c >0. Tìm max:

 

P= $\sum \frac{b+c}{a+ \sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Thi Van Anh: 11-12-2013 - 09:17

[Phuong Thu Quoc]

Cho a,b,c >0. Tìm max:

 

P= $\sum \frac{b+c}{a+ \sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}}$

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Rightarrow a^{3}+b^{3}\geq ab\left ( a+b \right )\Rightarrow 4\left ( a^{3}+b^{3} \right )\geq \left ( a+b \right )^{3}$

$P=\sum \frac{b+c}{a+\sqrt[3]{4\left ( a^{3}+b^{3} \right )}}\leq \sum \frac{b+c}{a+b+c}=2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[saophaixoan1109]

1. Cho $\left\{\begin{matrix}a<b<c &  & \\ a+b+c=6 &  & \\ ab+bc+ac=9 &  & \end{matrix}\right.$

Chứng minh $a<1<b<3<c<4$

2. Chứng minh với $n\epsilon \mathbb{N}*,n>1$ thì

$\sqrt{2}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{4^{3}}+...+\sqrt{(n+1)^{n}}<(n+1)!$

3.Cho $x,y\geq 0$

Tìm min,max của $P=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}}$

4.Cho $x,y\epsilon \mathbb{N}^{*}$

Chứng minh :Nếu$\sqrt{7}-\frac{x}{y}> 0$ thì $\sqrt{7}-\frac{x}{y}> \frac{1}{xy}$

 

Mời mọi người "dùng bữa"            

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi saophaixoan1109: 13-12-2013 - 11:04

[skydragon0]

Cho x,y dương thỏa x+y=1.Tìm min:$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$

(Cho 3 số thì mình còn biết,2 số thì thua)

[skydragon0]

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác

CM:ab+bc+ca$\leq$$a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi skydragon0: 13-12-2013 - 17:56

[Trang Luong]

Cho x,y dương thỏa x+y=1.Tìm min:$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$

(Cho 3 số thì mình còn biết,2 số thì thua)

$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\geq \frac{9}{x+y}$