Chủ đề này có 1205 trả lời

[Le Thi Van Anh]

$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\geq \frac{9}{x+y}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{3} & \\ y = \frac{2}{3} & \end{matrix}\right.$

[Le Thi Van Anh]

hình như bài 4 sai đề:nếu x=$\sqrt{6} và y=1 thì sai hoàn toàn$

x,y $\in N^{*}$ nên x $\neq$$\sqrt{6}$

[Le Thi Van Anh]

1. Cho $\left\{\begin{matrix}a<b<c &  & \\ a+b+c=6 &  & \\ ab+bc+ac=9 &  & \end{matrix}\right.$

Chứng minh $a<1<b<3<c<4$

2. Chứng minh với $n\epsilon \mathbb{N}*,n>1$ thì

$\sqrt{2}+\sqrt{3^{2}}+\sqrt{4^{3}}+...+\sqrt{(n+1)^{n}}<(n+1)!$

3.Cho $x,y\geq 0$

Tìm min,max của $P=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^{2}(1+y){2}}$

4.Cho $x,y\epsilon \mathbb{N}^{*}$

Chứng minh :Nếu$\sqrt{7}-\frac{x}{y}> 0$ thì $\sqrt{7}-\frac{x}{y}> \frac{1}{xy}$

 

Mời mọi người "dùng bữa"            

Mình giải bài 4 bạn tham khảo xem sao nhé:

 

$\sqrt{7}-\frac{x}{y}> 0\Rightarrow \sqrt{7}> \frac{x}{y}\Rightarrow \sqrt{7}> \frac{x^{2}}{xy}\Rightarrow \sqrt{7}.xy> x^{2}\Rightarrow \sqrt{7}.xy\geq x^{2}+1$ (vì x,y$\in N^{*}$) $\Rightarrow \sqrt{7}\geq \frac{x^{2}+1}{xy}$

 

Nếu $\sqrt{7}=\frac{x^{2}+1}{xy}\Rightarrow 7x^{2}y^{2}=(x^{2}+1)^{2}\Rightarrow \left ( x^{2}+1-\sqrt{7}xy \right )\left ( x^{2}+1+\sqrt{7}xy \right )= 0$

$\Rightarrow x^{2}+1-\sqrt{7}xy=0\Rightarrow x^{2}+1=\sqrt{7}xy$(mâu thuẫn vì VT là số tự nhiên VP là số vô tỉ)

 

Suy ra: $\sqrt{7}> \frac{x^{2}+1}{xy}\Rightarrow \sqrt{7}> \frac{x}{y}+\frac{1}{xy}\Rightarrow \sqrt{7}-\frac{x}{y}> \frac{1}{xy}$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Thi Van Anh: 11-12-2013 - 23:09

[ivegottofinditout]

chứng minh với mọi a tmdk 

-1<a<1

$\sqrt[4]{1-a^{2}}+\sqrt[4]{1-a}+\sqrt[4]{1+a}< 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ivegottofinditout: 14-12-2013 - 13:37

[ivegottofinditout]

                                                             CÓ KHI BÀI NÀY DỄ HƠN

                                         với mọi x,y,z tmdk xy+yz+xz=1

                               $10x^{2}+10Y^{2}+z^{2}\geq 4$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ivegottofinditout: 14-12-2013 - 14:54

[Trang Luong]

Cho $a,b>0$. Tìm min $N=\sqrt[2]{\frac{a^3}{a^3+8b^3}}+\sqrt[2]{\frac{4b^3}{b^3+(a+b)^3}}$

[buiminhhieu]

                                                             CÓ KHI BÀI NÀY DỄ HƠN

                                         với mọi x,y,z tmdk xy+yz+xz=1

                               $10x^{2}+10Y^{2}+z^{2}\geq 4$

Áp dụng BĐT côsi

$2x^{2}+2y^{2}\geq 4xy;8x^{2}+\frac{1}{2}z^{2}\geq 4xz;8y^{2}+\frac{1}{2}z^{2}\geq 4yz$

công theo vế ra đpcm

[canhhoang30011999]

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác

CM:ab+bc+ca$\leq$$a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$

ab+bc+ca$\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$

tương tự ta có đpcm

$a^{2}+b^{2}+c^{2}< 2ab+2bc+2ac$

ta có ab+bc=b(a+c)>$b^{2}$

TT ta có đpcm

[hoangmanhquan]

Chém giùm cái:    

Cho a,b $\in \mathbb{R}$ thoả mãn $a+b+4ab=4a^2+4b^2$

Tìm Max của $A=20(a^3+b^3)-6(a^2+b^2)+2013$

 

[buiminhhieu]

Chém giùm cái:    

Cho a,b $\in \mathbb{R}$ thoả mãn $a+b+4ab=4a^2+4b^2$

Tìm Max của $A=20(a^3+b^3)-6(a^2+b^2)+2013$

chém nào

$GT\Leftrightarrow \frac{a+b}{4}=a^{2}+b^{2}-ab$

$A=20(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)-6.(a^{2}+b^{2})+2013=5(a+b)^{2}-6(a^{2}+b^{2})+2013$

$=10ab-a^{2}-b^{2}+2013\leq 8ab+2013$

$GT\Leftrightarrow a+b+4ab=4a^{2}+4b^{2}\Rightarrow a+b+(a+b)^{2}\geq 2(a+b)^{2}\Rightarrow 0\leq a+b\leq 1$

$\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow A\leq 2015$

Dấu = khi a=b=$\frac{1}{2}$

[phucryangiggs11]

Cho các số $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của $ab+bc+ca$

[phucryangiggs11]

Bài này thầy giáo đội tuyển em giao, hình như có vấn đề

[Le Thi Van Anh]

Trước hết ta sẽ chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$   (1)

Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc, có thể tham khảo tại

Trở lại bài toán, áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

    $(\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}})(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})\geqslant 9$   (2)

Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}$

Vậy $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}\geqslant 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

 

BĐT trên là sai ạ. BĐT trên không thể cm được. Lấy một vd: Nếu thử a=1,b=2,c=3 ta được VT-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$>$0

[Le Thi Van Anh]

Cho các số $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của $ab+bc+ca$

Có vẻ là tìm max chứ không pải min đâu

3$(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 9$$\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

Dấu "="$\Leftrightarrow$$a=b=c=1$

[shinichikudo201]

Mình mở ra một topic mới để cùng mọi người trao đôit kinh nghiệm về BĐT. Lần này các bài toán dành cho THCS, 1 phần cũng dành cho các anh chị THPT. Đầu tiên xin nói lại về các BĐT để sử dụng truong topic này .
1. Bất đẳng thức Cô si (AM-GM): Với m số không âm $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ ta có:
$a_{1}+a_{2}+...+a_{m}\geq m\sqrt[m]{a_{1}a_{2}...a_{m}}$. Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}.$
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy - Schwazs): với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{m}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{m}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^{2}$
Đẳng thức xảy ra khi : $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ bất kì và $b_{1},b_{2},...,b_{m}\geq 0$ ta có :
$\dfrac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+...+\dfrac{a_{m}^{2}}{b_{m}}\geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}.$Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
4.Bất đẳng thức Mincopxki (Mincowski): Với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{m})^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi :$\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
5. Bất đẳng thức Holder: Xin chỉ nêu trường hợp dùng nhiều nhất , ko nêu dạng tổng quát:
Cho $a,b,c,x,y,z,m,n,p>0$ thì BĐT sau đúng : $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}.$
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
6. Bất đẳng thức Schur: Dạng tổng quát:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $t > 0$ ta có : $a^{t}(a-b)(a-c)+b^{t}(b-c)(b-a)+c^{t}(c-a)(c-b)\geq 0.$
Đẳng thức xảy ra khi : $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: $t=1$ và $t=2$
$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$ .
Trong trường hợp $t=1$ thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a).$
$4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{3}+9abc.$
Hệ quả rất thông dụng: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc.$
Với $t=2$ ta có dạng quen thuộc hơn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)$.
7. Bất đẳng thức Trêbưsep Chebyshev): Với $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{m}$ thì:
$m(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{n}+...+a_{m}b_{m})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{m})(b_{1}+b_{2}+...+b_{m}).$
Đẳng thức xảy ra khi : $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}$ và $ b_{1}=b_{2}=...=b_{m}.$
Nếu $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $ b_{1}\leq b_{2}\leq ...\leq b_{m}$ thì BĐT trên đổi chiều.
8. Bất đẳng thức Nét bít (Nesbitt): Mình chỉ nêu ra 2TH hay dùng nhất đối với THCS :
BĐT Nesbitt 3 biến : Với $ a,b,c >0$ thì $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}.$
BĐT Nesbitt 4 biến : với $a,b,c,d >0$ thì :$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a} +\dfrac{d}{a+b}\geq 2.$
ĐẲng thức xẩy ra khi các biến bằng nhau.
9. Các hằng bất đẳng thức thường dùng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$ và $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac).$
$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+...+\dfrac{1}{a_{m}}\geq \dfrac{m^{2}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}$ ( với $a_{i}>0$)
$\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{n}$ (Với $a+b\geq 0$ và $n\in N*$)
$a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}.b^{n}+a^{n}.b^{m}.$
Còn rất nhiều BĐT nữa nhưng ở mức độ THCS mình chỉ nêu ra như vậy thôi.
P\s: Các anh chị THPT không giải bài của THCS, mà các anh chị sẽ có bài riêng dành cho mình để làm. Mong các bạn hưởng ứng. Cảm ơn.
Hero Math _ Hiếu.

Từ S-vác viết đúng là Schwarz không phải là Schwars nhé

[Le Thi Van Anh]

Cho a,b,c>0 .CMR:

 

$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c>0 .CMR:

 

$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$

Bài này có nhiều cách làm Mình xin nêu ra cách ngắn gọn nhất .

Chuẩn hóa :$a+b+c=3$

BĐT $< = > \sum \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Mặt khác ta lại có :$\frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2a+3}{25}< = > a^3+a^3+1\geq 3a^2$(Luôn đúng theo AM-GM 3 số)

$= > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$(đpcm)

 Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

[Le Thi Van Anh]

Bài này có nhiều cách làm Mình xin nêu ra cách ngắn gọn nhất .

Chuẩn hóa :$a+b+c=3$

BĐT $< = > \sum \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Mặt khác ta lại có :$\frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2a+3}{25}< = > a^3+a^3+1\geq 3a^2$(Luôn đúng theo AM-GM 3 số)

$= > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$(đpcm)

 Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Chỗ này chuẩn hoá nghĩa là sao???

[Hoang Tung 126]

Chỗ này chuẩn hoá nghĩa là sao???

Có nghĩa là đề bài cho 3 ẩn thì mình có thể giả sử được tổng của 3 ẩn ấy 

[Le Thi Van Anh]

Có nghĩa là đề bài cho 3 ẩn thì mình có thể giả sử được tổng của 3 ẩn ấy 

Vậy giả sử a+b+c=1 cũng được ạ?