1205 replies to this topic

[Nguyễn Hữu Huy]

Típ nè!
Bài 18
Suppose $a,b,c\in \mathbb R^+$. Prove that :$(\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca)^2\geq (a+b+c)(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c)$
p\s: Bài này không khó lém!

hihiiii! Chụp đc bài ni !

$(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a})^2$ $(a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$

$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{c^2} + \dfrac{c^2}{a^2} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b}$ $3 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$

Dễ dàng chứng minh đc

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b}$ $3$

$ (\dfrac{a^2}{b^2} + 1) + (\dfrac{b^2}{c^2} + 1) + (\dfrac{c^2}{a^2} + 1)$ $2(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a})$

mà $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$ $3$

$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{c^2} + \dfrac{c^2}{a^2}$ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$

Edited by perfectstrong, 09-08-2011 - 22:26.

[NguyThang khtn]

Típ!
Bài 19
$\left{a;b;c>0\\{a+b+c=1} .Prove \sum_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}\geq1$

Edited by perfectstrong, 09-08-2011 - 22:26.

[Nguyễn Hữu Huy]

Típ!
Bài 19
$\left{a;b;c>0\\{a+b+c=1} .Prove \sum_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt[3]{a+2b}} \geq1$

Đặt $A = \sum_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}$
Ta có
$ A^3.[a(a + 2b) + b(b + 2c) + c(c + 2a)] = A^3 $
Do
$a(a + 2b) + b(b + 2c) + c(c + 2a) = (a + b + c)^2 = 1$

Áp dụng bđt holder ta có :

$ A^3.[a(a + 2b) + b(b + 2c) + c(c + 2a)$ $(a + b + c)^4 = 1$

Kết hợp với A 1 (đpcm)

Edited by perfectstrong, 09-08-2011 - 22:26.

[NguyThang khtn]

Chú lớp 8 mà khiếp!
Bài 20
Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
$(\dfrac{a}{a+b})^3+(\dfrac{b}{c+b})^3+(\dfrac{c}{a+c})^3 \geq \dfrac{3}{8}$

Edited by perfectstrong, 09-08-2011 - 22:27.

[Nguyễn Hữu Huy]

Chú lớp 8 mà khiếp!
Bài 20
Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
$(\dfrac{a}{a+b})^3+(\dfrac{b}{c+b})^3+(\dfrac{c}{a+c})^3 \geq \dfrac{3}{8}$

Nếu như em ko nhầm thìi
Giả sử $\dfrac{a}{a + b}$ $\dfrac{b}{ b + c}$ $\dfrac{c}{a + c}$
Áp dụng bdt chebyshev ta có

$(\dfrac{a}{b +c})^3 + (\dfrac{b}{b +c})^3 + (\dfrac{c}{a +c})^3$ $\dfrac{1}{3}.(\dfrac{a}{b +c} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c}).[(\dfrac{a}{b +c})^2 + (\dfrac{b}{b + c})^2 + (\dfrac{c}{c +a})^2) ] $ $ \dfrac{1}{2}[ (\dfrac{a}{a + b})^2 + (\dfrac{b}{b + c})^2 + (\dfrac{c}{a + c})^2 ] $ $ \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.(\dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c})(\dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c}) $ $\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}$ = $\dfrac{3}{8}$

$Because \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{ b + c} + \dfrac{c}{a + c}$ $\dfrac{3}{2}$
Cái ni em ko chắc lắm ! Ai chứng minh hộ em cái BĐT phụ này với ạ ! Hình như bđt này sai thì phỉa ! Lỡ có sai anh chị thông cảm nhé !

Edited by perfectstrong, 09-08-2011 - 22:27.

[Yagami Raito]

Giúp em bài này cái
Bài 21
Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac{ a^{3}}{a^{2}+ab+ b^{2}}+\dfrac{ b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \dfrac{a+b+c}{3}$

Edited by perfectstrong, 09-08-2011 - 22:28.

[Crystal]

Giúp em bài này cái
Bài 21
Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac{ a^{3}}{a^{2}+ab+ b^{2}}+\dfrac{ b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \dfrac{a+b+c}{3}$

Với $a,b > 0$ ta có
$\dfrac{{a^3 }}{{a^2 + ab + b^2 }} \ge \dfrac{{2a - b}}{3} \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)^2 \ge 0$ (luôn đúng).
Tương tự, với a, b, c > 0 ta có
$\dfrac{{b^3 }}{{b^2 + bc + c^2 }} \ge \dfrac{{2b - c}}{3}\,;\,\,\,\dfrac{{c^3 }}{{c^2 + ca + a^2 }} \ge \dfrac{{2c - a}}{3}$
Cộng theo vế 3 BĐT trên và thu gọn ta được đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c >0.

P/s: bài này thêm giả thiết a, b, c là các số thực dương.

[Crystal]

Bài 22: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = 2001$. Tìm GTNN của

$P = \dfrac{{x^{20} }}{{y^{11} }} + \dfrac{{y^{20} }}{{z^{11} }} + \dfrac{{z^{20} }}{{x^{11} }}$.

Bài 25: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $x^3 + y^3 = 1$. Tìm GTLN của:

$P = \sqrt x + 2\sqrt y $.

[Rayky]

Bài 23: Cho $x,y \ge 0$ thỏa mãn: ${x^2} + {y^2} = 1$
Tìm GTLN và GTNN của: $P = \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2y} $

[Yagami Raito]

Cảm ơn xusinst
Cậu làm chuẩn
Bài 24:
Chứng minh rằng $\forall a \in \mathsub{R}:\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{ a^{2}-a+1 }{a^{2}+a+1} \leq 3$

Edited by perfectstrong, 11-08-2011 - 08:02.

[Crystal]

Cảm ơn xusinst
Cậu làm chuẩn
Chứng minh rằng x R , $\dfrac{1}{3} $ $\dfrac{ a^{2}-a+1 }{a^{2}+a+1} $ 3

Dùng pp miền giá trị.
Đặt $A = \dfrac{{a^2 - a + 1}}{{a^2 + a + 1}} \Rightarrow A\left( {a^2 + a + 1} \right) = a^2 - a + 1$
$\Leftrightarrow \left( {A - 1} \right)a^2 + \left( {A + 1} \right)a + A - 1 = 0$
$\exists a \Leftrightarrow \Delta _a = \left( {A + 1} \right)^2 - 4\left( {A - 1} \right)\left( {A - 1} \right) \ge 0$
$\Leftrightarrow 3A^2 - 10A + 3 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \le A \le 3$ (đpcm)

[perfectstrong]

Bài 23: Cho $x,y \ge 0$ thỏa mãn: ${x^2} + {y^2} = 1$
Tìm GTLN và GTNN của: $P = \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2y} $

Mình làm thế này:
đk $x \in \left[ {0;\dfrac{1}{2}} \right]$

$P = \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2y} = \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2\sqrt {1 - x^2 } } $

$ \leqslant \sqrt {1 - 2.0} + \sqrt {1 + 2\sqrt {1 - 0^2 } } = 1 + \sqrt 3 $

$ \Rightarrow \max P = 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow x = 0 \Leftrightarrow y = 1$

$P = \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2\sqrt {1 - x^2 } } $

$ \geqslant \sqrt {1 - 2.\dfrac{1}{2}} + \sqrt {1 + 2.\sqrt {1 - \dfrac{1}{{2^2 }}} } = \sqrt {1 + \sqrt 3 } $

$ \Rightarrow \min P = \sqrt {1 + \sqrt 3 } \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

[taitwkj3u]

Mình góp bài này nhé
Cho $x \in R $ thỏa mãn:
Bài 26

$ x^2 + (3-x)^2 \geq 5$

Tìm min của

$ P = x^4 + (3-x)^4 + 6x^2(3 - x)^2 $

Edited by perfectstrong, 12-08-2011 - 22:40.

[Rayky]

Mình làm thế này:
đk $x \in \left[ {0;\dfrac{1}{2}} \right]$

$P = \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2y} = \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2\sqrt {1 - x^2 } } $

$ \leqslant \sqrt {1 - 2.0} + \sqrt {1 + 2\sqrt {1 - 0^2 } } = 1 + \sqrt 3 $

$ \Rightarrow \max P = 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow x = 0 \Leftrightarrow y = 1$

$P = \sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2\sqrt {1 - x^2 } } $

$ \geqslant \sqrt {1 - 2.\dfrac{1}{2}} + \sqrt {1 + 2.\sqrt {1 - \dfrac{1}{{2^2 }}} } = \sqrt {1 + \sqrt 3 } $

$ \Rightarrow \min P = \sqrt {1 + \sqrt 3 } \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

Tại sao bạn tìm được điều kiện của x là phải bằng 0 hoặc 1/2 ?

[NguyThang khtn]

Mình góp bài này nhé
Cho $x \in R $ thỏa mãn:

$ x^2 + (3-x)^2 \geq 5$

Tìm min của

$ P = x^4 + (3-x)^4 + 6x^2(3 - x)^2 $

$dat: y=3-x \text{ Ta co } \left{x+y=3\\{x^2+y^2\geq 5}$
$\Leftrightarrow \left{ x^2+y^2+2xy=9\\{x^2+y^2\geq 5$
$\Rightarrow x^2+y^2+4(x^2+y^2+2xy)\geq 5+4.9=41\Rightarrow 5(x^2+y^2)+4(2xy)\geq 41$
mặt khác $16(x^2+y^2)^2+25(2xy)^2\geq 40(x^2+y^2)(2xy)(1)$
cộng 2 vế của (1) vs $25(x^2+y^2)^2+16(2xy)^2$
$\Rightarrow 41[(x^2+y^2)^2+(2xy)^2]\geq [5(x^2+y^2)+4(2xy)]^2\geq 41^2$
$hay : (x^2+y^2)^2+(2xy)^2\geq 41 \Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\geq 41 $
thay y=3-x ta dc dpcm

[perfectstrong]

Tại sao bạn tìm được điều kiện của x là phải bằng 0 hoặc 1/2 ?

Thì đây là điều kiện của nghĩa của $\sqrt{1-2x}$ và đk đề cho.

[NguyThang khtn]

Bài 22: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = 2001$. Tìm GTNN của

$P = \dfrac{{x^{20} }}{{y^{11} }} + \dfrac{{y^{20} }}{{z^{11} }} + \dfrac{{z^{20} }}{{x^{11} }}$.

Áp dụng BDT AM-GM cho 11 số dương:
`
$\dfrac{{x^{20} }}{{y^{11} }} + 11.667^8.y+8.667^9 \geq 20\sqrt[20]{x^20.667^8.667^{72}}=20x.667^8$.
Làm tương tự rùi cộng lại ta tìm được GTNN!

Edited by bboy114crew, 13-08-2011 - 20:17.

[Crystal]

Bài 27: Cho $a,b,c > 0$ thỏa $a + b + c = 1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \dfrac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}$.

[maikhai]

Luôn thể làm bài này em với nha!
CMR: ( sorry nha! em chưa biết cách viết đúg ở trên diễn đàn, ah chỉ em với nha!)

1, Cho a,b,c>0 và a+b+c=2, CMR a^2/(b+c) + b^2/(a+c) +c^2/(a+b) 3/2

2, Cho a,b,c>0 và a+b+c=1, CMR b+c:geq 16abc

3, Cho a,b,c>0, CMR CMR a^2/(b+c) + b^2/(a+c) +c^2/(a+b) (a+b+c)/2


5,Cho n thuộc N và n>1, CMR 1+1/2^2+1/3^2+....1/n^2 < 2

6, Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=<1 CMR 1/(a^2+2bc)+ 1/(b^2+2ac) +1/(c^2+2ab) 9

7, Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=2; ab+bc+ca=1 CMR 0=<a,b,c=<4/3

8, Cho 0<a,b,c,d<1. CMR có ít nhất một BĐT sai trog các BĐT sau:
2a(1-b) >1 3b(1-c) >2 8c(1-d) >1 32d(1-a)>3

9, Cho a,b,c >0 CMR (a+b/(a^2+b^2) + (b+c)/(b^+c^2) + (c+a)/(c^2+a^2) =< 1/a +1/b +1/c

10, Ch0 0=<a,b,c=< 1 CMR a+b+c + 1/abc >= 1/a +1/b +1/c+ abc

Edited by maikhai, 13-08-2011 - 21:44.

[Crystal]

Luôn thể làm bài này em với nha!
CMR: ( sorry nha! em chưa biết cách viết đúg ở trên diễn đàn, ah chỉ em với nha!)

1, Cho a,b,c>0 và a+b+c=2, CMR a^2/(b+c) + b^2/(a+c) +c^2/(a+b) 3/2

2, Cho a,b,c>0 và a+b+c=1, CMR b+c:geq 16abc

3, Cho a,b,c>0, CMR CMR a^2/(b+c) + b^2/(a+c) +c^2/(a+b) (a+b+c)/2
5,Cho n thuộc N và n>1, CMR 1+1/2^2+1/3^2+....1/n^2 < 2

6, Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=<1 CMR 1/(a^2+2bc)+ 1/(b^2+2ac) +1/(c^2+2ab) 9

7, Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=2; ab+bc+ca=1 CMR 0=<a,b,c=<4/3

8, Cho 0<a,b,c,d<1. CMR có ít nhất một BĐT sai trog các BĐT sau:
2a(1-b) >1 3b(1-c) >2 8c(1-d) >1 32d(1-a)>3

9, Cho a,b,c >0 CMR (a+b/(a^2+b^2) + (b+c)/(b^+c^2) + (c+a)/(c^2+a^2) =< 1/a +1/b +1/c

10, Ch0 0=<a,b,c=< 1 CMR a+b+c + 1/abc >= 1/a +1/b +1/c+ abc

1.
đk phải là a+b+c=3.
$VT \ge \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$
2. Nhân lượng (a+b+c)=1 vào VT khai triển rồi dùng AM-GM.
3. Trường hợp TQ của bài 1 cho 3 biến.
5.
Có thể chứng minh bằng quy nạp hoặc đánh giá.
6.
$VT \ge \dfrac{{\left( {1 + 1 + 1} \right)^2 }}{{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca}} = \dfrac{9}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }} \ge \dfrac{9}{{ab + bc + ca}} = 9$
7.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}b + c = 2 - a \\ bc = 1 - a\left( {b + c} \right) \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 2 - a \\ bc = 1 - a\left( {2 - a} \right) \\ \end{array} \right.$
Suy ra b, c là hai nghiệm của phương trình: $x^2 - \left( {2 - a} \right)x + 1 - a\left( {2 - a} \right) = 0$
Tìm điều kiện để phương trình trên có nghiệm ta sẽ có $0 \le a \le \dfrac{4}{3}$
Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta có đpcm.
8. Dùng phản chứng.
9.
Ta có: $\dfrac{{a + b}}{{a^2 + b^2 }} \le \dfrac{{a + b}}{{2ab}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)$
Làm thêm hai cái còn lại rồi cộng vế theo vế, rút gọn ta có đpcm.

còn tiếp...

Edited by xusinst, 13-08-2011 - 22:15.