Chủ đề này có 1205 trả lời

[luukhaiuy]

@ đề gốc là hệ quả yếu hơn của đề trên, nghĩ thành tổng các bình phương cho $\geq 0$ và cả cách đạo hàm là tham khảo thôi, bài này khó lắm.

 

Schwarz thẳng 1 bước là ra:

$(\sum a)(\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}})\geq (\sum \frac{1}{ab+a+1})\doteq 1$ (do abc=1 nên chú ý rằng $\sum \frac{1}{ab+a+1}\doteq 1$)

suy ra đpcm.

 

Đặt a-8=x và đk: x>0.

Thay vào được:

$\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{a-8})^{2}}\doteq \sqrt{x^{2}+\frac{64}{x^{2}}+16x+\frac{16}{x}+65}$

Có thể tách Cô si vì có x>0 và bình phương dựa vào dấu = nhường cho bạn

 

Vế đầu:

$\frac{2x}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}\doteq \frac{2}{\sqrt{\frac{(x^{2}+1)^{3}}{x^{3}}}}\doteq \frac{2}{\sqrt{x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3x+\frac{3}{x}}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$   (Cô si dưới mẫu)

Vế sau:

$\frac{x^{2}(1+\sqrt{yz})^{2}}{(y+z)(x^{2}+1)}\doteq \frac{x^{2}+x^{2}yz+2x^{2}\sqrt{yz}}{(y+z)x^{2}+y+z}$

Đến đây có thể thay $x=\frac{z-y}{yz+1}$ để tính hoặc bạn đánh giá $y+z\geq 2\sqrt{yz}$ thay vô.....

p/s: kiếm đâu ra bài rườm rà zzz

 

Thử c/m cái này xem nào Tran Thanh Truong

cho mình hỏi ve sau làm sao vậy giải rõ giùm vs

[Tran Thanh Truong]

1)  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:  

[Tran Thanh Truong]

2)  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:  

[Tran Thanh Truong]

3)  Tìm GTNN, GTLN của biểu thức:  

[Tran Thanh Truong]

Bài 4: 

[Tran Thanh Truong]

Bài 5: 

[Tran Thanh Truong]

Bài 6: 

 

[Uchiha sisui]

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.
Chứng minh rằng :
$\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

ai giải bài này đi

[NTA1907]

ai giải bài này đi

Ta có:

$a^{2}+2b+3=(a^{2}+1)+2b+2\geq 2(a+b+1)$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{a}{2(a+b+1)}\leq \frac{1}{2}$

Ta cm: $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{a+b+1}+\frac{b+1}{a+b+1})\leq 1+\sum \frac{b+1}{a+b+1}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$

Ta có:

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (b+1)(a+b+1)}=2$(đpcm)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

[nqt123]

Cho a,b,c là các số dương.Tìm MAX của:

        ${ \frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nqt123: 07-01-2016 - 14:03

[NTA1907]

Cho a,b,c là các số dương.Tìm MAX của:

$\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}$

Khi thay $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})\rightarrow (a,b,c)$ thì bài toán trên tương tự bài toán sau:

[Tuituki]

Tìm min $\sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}$ biết a,b,c >9

[tpdtthltvp]

Tìm min $\sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}$ biết a,b,c >9

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz, ta có:

 $\sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-9}$

Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=x\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{x^2}{x-9}$

Đặt $\frac{x^2}{x-9}=A\Rightarrow x^2-Ax+9A=0$. Để PT có nghiệm thì $\Delta =A^2-36A\geq 0\Leftrightarrow A(A-36)\geq 0\Leftrightarrow A\geq 36$

Vậy $min=36\Leftrightarrow a=b=c=36$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 08-01-2016 - 18:18

[Tuituki]

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz, ta có:

 $\sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-9}$

Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=x\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{x^2}{x-9}$

Đặt $\frac{x^2}{x-9}=A\Rightarrow x^2-Ax+9A=0$. Để PT có nghiệm thì $\Delta =A^2-36A\geq 0\Leftrightarrow A(A-36)\geq 0\Leftrightarrow A\geq 36$

Vậy $min=36\Leftrightarrow a=b=c=36$

Hoặc tới chỗ đấy không cần đặt A, tách rồi cô si luôn

[tpdtthltvp]

Hoặc tới chỗ đấy không cần đặt A, tách rồi cô si luôn

Cách đấy thế nào vậy?

[Tuituki]

Cách đấy thế nào vậy?

Kiểu đơn giản thế này thôi cậu :3

$\frac{x^{2}-81}{x-9}+\frac{81}{x-9}= x+9 + \frac{81}{x-9} = x-9 + \frac{81}{x-9} +18$

[Tuituki]

Biết $\sum x^{2}=3$

Chứng minh $\sum \frac{xy}{z}\geq 3$

[NTA1907]

Biết $\sum x^{2}=3$

Chứng minh $\sum \frac{xy}{z}\geq 3$

Ở đây

[kuhaza]

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz, ta có:

 $\sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-9}$

Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=x\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{x^2}{x-9}$

Đặt $\frac{x^2}{x-9}=A\Rightarrow x^2-Ax+9A=0$. Để PT có nghiệm thì $\Delta =A^2-36A\geq 0\Leftrightarrow A(A-36)\geq 0\Leftrightarrow A\geq 36$

Vậy $min=36\Leftrightarrow a=b=c=36$

Để PT có nghiệm thì $\Delta =A^2-36A\geq 0\Leftrightarrow A(A-36)\geq 0\Leftrightarrow A\geq 36$ 

A=0 thì pt vx có nghiệm kép nên chưa thể suy ra A>=36 đc

[tpdtthltvp]

Để PT có nghiệm thì $\Delta =A^2-36A\geq 0\Leftrightarrow A(A-36)\geq 0\Leftrightarrow A\geq 36$ 

A=0 thì pt vx có nghiệm kép nên chưa thể suy ra A>=36 đc

$x,y,z>9$ thì $A$ luôn $>0$ mà!